几何造型中的若干细分方法研究及其应用

论文摘要

几何造型主要研究在计算机系统的环境下，对于几何形体的表示、设计、显示和分析。细分方法作为曲线曲面的离散化造型方法，是多边形网格表示方法和参数表示方法的有机结合，自从上个世纪八十年代以来，得到了广泛的研究，已发展成为几何造型、形体表示和绘制、多分辨率分析及数值计算的一种有效方法。细分方法因其独特的优势，近年来倍受关注，在计算机动画、科学计算可视化、制造业的逆向工程以及医学图像处理中都有应用。至今研究多集中在各种细分规则的构造、细分方法的收敛性与连续性分析、基于细分的实用算法等方面。而在细分参数对细分曲线形状控制的分析、依据初始网格及其几何特征和预定的设计目标和要求（如插值、良好局部性、可控性、光滑性等）构造和分析新的细分方法等方面还有很多工作要做。本文在对细分方法的构造思想、特点、发展历史、分类、主要研究内容及插值细分法的研究现状进行综述的基础上，从理论化和可视化两个角度分析插值细分法中细分参数对细分曲线形状的控制作用；研究一些行之有效的ternary细分曲线曲面造型方法，以进一步提高ternary细分方法在光滑插值曲线曲面造型等方面的能力；研究B样条曲线的p-nary细分技术及其几何作图问题。论文的主要成果如下：多数细分法文献侧重研究细分法的构造、收敛性光滑性分析及其在曲线曲面造型中的应用，少有文献致力于细分参数对细分曲线形状影响（特别是对细分曲线分形形态的影响）的理论分析。本文对两种C1插值细分法——单参数四点binary插值细分法及双参数三点ternary插值细分法中细分参数对细分曲线形状的局部和整体影响进行了分析，得到了张力参数ω对四点binary插值细分曲线H（?）lder指数的单调性性质，给出了C0和C1情形下细分参数a，b所属的几何区域和新顶点所属的控制区域，在此基础上分析了张力参数ω对四点binary插值细分曲线、细分参数a，b对三点ternary插值细分曲线形状的控制作用。进而通过考察任意细分层次上的任意两个控制顶点经过任意次细分后，细分参数对位于这两个顶点之间的小边长度总和的影响，分析了细分参数和整个细分曲线呈现分形特征之间的关系，分别得到了细分极限曲线上任一段不可求长的充分条件，从而揭示了这两种插值细分法的分形性质，系统地分析了细分参数对细分曲线形状的影响。本文还研究了分析结果在分形曲线曲面生成方面的应用，给出了若干个例子。理论和数值算例表明，给定初始控制多边形或初始控制网，应用四点binary插值细分法或三点ternary插值细分法，可通过适当选择细分参数直接快速地生成分形曲线曲面，生成方法简单有效，且生成的分形曲线曲面的形状在一定范围内是可调整的。本文提出的分析方法可推广到其它细分法中细分参数角色的分析。针对实际应用中对具有良好可控性、局部性和光滑性的插值细分法的需求，本文首先提出了一种变参数的非均匀三点ternary插值细分法，并对其C0及C1收敛性进行了分析。为了提升它的可控性，又提出了一种更便于操作的带细分权的非均匀三点ternary插值细分法，给每一个初始控制顶点赋予一个初始权因子，通过这些初始权因子来自由调整细分曲线的形状。为了明确带权非均匀三点ternary插值细分法的可操作性，本文分析了初始权因子的作用，并将得到的结果应用于插值曲线曲面的造型及地形形状生成中，提出了一种基于非均匀三点ternary插值细分法的地形生成方法。本文分别给出并证明了两种非均匀三点ternary插值极限曲线为C0、C1连续性时参数或权因子所满足的充分条件。与现有的插值细分法相比，本章提出的细分法局部性较好，更加灵活，能快速生成形状局部或整体可控的C0或C1插值曲线或曲面。应用本文提出的基于非均匀三点ternary插值细分法的地形生成方法可快速有效地生成具有不同形状的地形，并且所生成的地形形状具有可控性。由于ternary细分法的特性，应用ternary细分法生成曲线曲面的速度比用经典binary细分法更快，因此基于任意四边形网格的ternary曲面细分法已被提出，但基于三角网格的ternary插值曲面细分法的构造和分析还有待进一步研究。本文首先针对规则三角网格，提出了一种基于两次插值31/2细分的ternary插值曲面细分法，极限曲面可达C1连续。为改进细分法的局部性，且使得细分法生成的曲面形状可调，本文接着研究了带参数的ternary插值曲面细分法的构造问题。针对任意三角网格，给出了各种情形下新面点、新边点的计算公式，分析了细分法的收敛性和连续性，得到了细分曲面存在和G1连续的充分条件。在具有C2连续性的四点ternary插值细分法的构造和分析方面，本文针对Hassan等提出的单参数四点ternary插值细分法中细分参数的几何特征不明显，不利于细分曲线形状修改的问题，首先提出了一类包含两个带有明显几何特征的形状参数的双参数四点ternary插值细分法，给出并证明了极限曲线C0、C1、C2连续时参数满足的充分条件，得到了相应情形下参数所属的几何区域和新顶点所属的控制区域，讨论了细分法用于造型光滑插值曲线时的形状控制问题。接着本文对Hassan单参数四点ternary插值细分法满足不同连续性时的条件及H（?）lder指数作进一步的分析，给出了极限函数一阶及二阶导数的表达式，并研究了四点ternar插值细分法在函数逼近、无须辅助顶点而直接插值给定型值点的光滑插值细分曲线的构造等方面的应用，证明了四点ternary插值细分法的逼近阶可达四阶，提出了一种改进的四点ternary插值细分法。在B样条曲线的p-nary细分法及其几何作图方面，本文引入离散卷积和生成多项式的概念，给出并证明了B样条基函数p-nary细分时细分系数的计算公式，讨论了细分系数所满足的性质，提出了采用p-nary细分法细分生成非有理及有理B样条曲线的细分规则及任意次均匀B样条曲线的递归细分算法。在此基础上，研究了任意次均匀B样条曲线p-nary细分生成的几何作图方法。采用本文的方法可快速生成CAGD中常用的有理B样条曲线。利用这种几何作图法，可以直观地在计算机上通过编程来快速准确地绘制B样条曲线，更重要的是，可以使基于几何方法的任意次均匀B样条曲线的手工绘制成为可能。本文的结果将会进一步丰富p-nary细分法的分析理论。

论文目录

摘要

ABSTRACT

第一章绪论

1.1 背景

1.2 细分方法概述

1.2.1 细分方法的构造思想

1.2.2 细分方法的特点

1.2.3 细分方法的发展历史

1.2.4 细分方法的分类

1.2.5 细分曲线曲面造型的主要研究内容

1.3 插值细分法的研究现状

1.3.1 插值曲线细分法方面

1.3.2 插值曲面细分法方面

1.4 本文的研究内容

第二章插值细分法中细分参数的角色分析

2.1 张力参数ω对四点binary插值细分曲线形状的影响

2.2 张力参数ω对四点binary插值细分曲线分形特征的影响

2.2.1 四点binary插值细分法的分形性质

2.2.2 应用及例子

2.3 参数a,b对三点ternary插值细分曲线形状的影响

2.3.1 三点ternary插值细分法的等价几何描述

2.3.2 参数a,b的几何解释

0及C¹参数域的等价几何描述'>2.3.3 三点ternary插值细分法C⁰及C¹参数域的等价几何描述

0及C¹新顶点域的等价几何描述'>2.3.4 三点ternary插值细分法C⁰及C¹新顶点域的等价几何描述

2.3.5 参数a,b对三点ternary插值细分曲线形状的控制作用

2.4 参数a,b对三点ternary插值细分曲线分形特征的影响

2.4.1 三点ternary插值细分法的分形性质

2.4.2 应用实例

2.5 本章小结

第三章形状可控的非均匀三点ternary插值细分法

3.1 变参数的非均匀三点ternary插值细分法

3.1.1 变参数的非均匀三点ternary插值细分法描述

3.1.2 变参数三点ternary插值细分法的收敛性光滑性分析

3.2 带细分权的非均匀三点ternary插值细分法

3.2.1 带权非均匀三点ternary插值细分法描述

3.2.2 初始权因子的作用

3.3 非均匀三点ternary插值细分法在曲线造型中的应用

3.4 非均匀三点ternary插值细分法在曲面造型中的应用

3.4.1 张量积非均匀三点ternary插值细分法

3.4.2 基于张量积非均匀三点ternary插值细分法的地形生成方法

3.5 本章小结

第四章基于三角网格的ternary插值细分法

4.1 问题的背景

1/2细分法'>4.2 插值3^1/2细分法

1/2细分法的ternary插值曲面细分法'>4.3 基于插值3^1/2细分法的ternary插值曲面细分法

4.4 基于任意三角网格的单参数ternary插值曲面细分法

4.5 单参数ternary插值曲面细分法的收敛性分析

1连续性分析'>4.6 单参数ternary插值曲面细分法的G¹连续性分析

4.7 算法讨论

4.8 本章小结

第五章关于四点ternary插值细分法的进一步讨论

5.1 问题的背景

5.2 双参数四点ternary插值细分法

5.2.1 双参数四点ternary插值细分法描述

5.2.2 双参数四点ternary插值细分法的收敛性连续性分析

0,C¹,C²新顶点域'>5.2.3 双参数四点ternary插值细分法的C⁰,C¹,C²新顶点域

5.2.4 应用举例

5.3 关于Hassan四点ternary插值细分法的进一步分析

0及C¹连续性分析'>5.3.1 Hassan四点法的C⁰及C¹连续性分析

0及C¹连续的必要条件'>5.3.1.1 C⁰及C¹连续的必要条件

0及C¹连续的充分条件'>5.3.1.2 C⁰及C¹连续的充分条件

5.3.2 H（o|¨）lder指数

5.3.3 Hassan四点法极限函数的一阶及二阶导数

5.4 四点ternary插值细分法在函数逼近中的应用

5.5 改进的四点ternary插值细分法

5.6 本章小结

第六章 B样条的p-nary细分

6.1 任意次均匀B样条基函数的p-nary细分

6.2 任意次均匀B样条曲线的p-nary细分

6.3 任意次均匀有理B样条曲线的p-nary细分

6.4 细分生成任意次均匀B样条的几何作图法

6.4.1 任意次均匀B样条曲线p-nary细分生成的递归算法

6.4.1.1 2n+1次均匀B样条曲线p-nary细分生成的递归算法

6.4.1.2 2n次均匀B样条曲线p-nary细分生成的递归算法

6.4.2 任意次均匀B样条曲线p-nary细分生成的几何作图法

6.4.2.1 2n+1次均匀B样条曲线p-nary细分生成的几何作图法

6.4.2.2 2n次B样条曲线p-nary细分生成的几何作图法

6.5 本章小结

第七章结论与展望

7.1 全文总结

7.2 今后研究工作展望

参考文献

攻读博士学位期间发表论文情况

攻读博士学位期间参加科研项目情况

致谢

几何造型中的若干细分方法研究及其应用

论文摘要

论文目录

相关论文文献

猜你喜欢