伪黎曼空间型中子流形几何的若干问题

论文摘要

本文研究了伪黎曼空间型中子流形几何的若干问题,给出了伪黎曼空间型中具有可对角化形算子的非退化超曲面的一些特征和分类结果,特别给出了r-极小超曲面的一些有趣特征.一方面,利用活动标架法和Lr算子研究了伪黎曼空间型中满足一定条件的超曲面的特征问题:1.伪黎曼空间型x:Msn→（?）（c）(（?）R?n+p或Rv+（?）n+p,p=1或2)中位置向量x满足方程Lrx=Rx+b的正常超曲面,其中Lr是相伴第r+1阶平均曲率Hr+1的二阶线性微分算子,r=0,…,n-1.R∈R（n+1）×（n+1）或R（n+2）×（n+2）是一个常矩阵,按照c=0或c≠0:b∈R?n+p或Rv+1n+p是一个常向量.当超曲面满足以下条件之一时:（1）c=0;（2）c≠0.b=（?）且Hr是一个常数;（3）c≠0,b=（?）且R是自伴的,则仅有的满足上述条件的超曲面是r-极小的(即Hr+1≡0)或等参的.特别,我们局部分类了满足此条件的非r-极大类空超曲面,并推广了相关结果.2.伪黎曼空间型（?）（c）中满足Lr（?）=λ（?）或Lrx=λ（?）等方程的非退化正常超曲面Msn,其中（?）是Msn在（?）（c）中的平均曲率向量场,λ∈R是常数.我们进一步给出了r-极小超曲面的一些新特征.3.Lorentz空间型（?）（c）中满足方程φ=λψ,的完备类空超曲面,其中φ=<x.α>和ψ=<（?）,α>,α∈R1n+1或R1n+2或R2n+2是一个固定的非零向量,按照c=0,c=1或c=-1,λ是一个常数.如果超曲面具有常平均曲率,我们证明了满足此条件的超曲面Mn是一个全脐超曲面或一个双曲柱面.此外,利用Lr算子讨论了Lorentz流形中具有常2阶平均曲率类空超曲面的稳定性.另一方面,我们研究了Lorentz空间型（?）（c）中的满足一定曲率条件的类空超曲面,刻画了Lorentz空间型中具有两个互异主曲率的常r阶平均曲率类空超曲面的一些特征,得到了一些刚性结果.特别我们完全分类了反de Sitter空间中具有两个互异主曲率的常平均曲率的类空超曲面,解决了Cao和Wei提出的一个公开问题.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪言
• 1.1 选题背景及意义
• 1.2 国内外研究概况
• 1.3 本文的研究内容与方法
• 2 伪黎曼流形的子流形理论
• 2.1 伪黎曼流形及其子流形
• 2.2 子流形的基本方程
• 2.3 超曲面的几何
• r算子及其几何应用'>3 L_r算子及其几何应用
• 3.1 经典的牛顿变换及其性质
• r算子'>3.2 伪黎曼空间型中正常超曲面的L_r算子
• r算子的某些特征方程的超曲面'>3.3 伪黎曼空间型中满足关于L_r算子的某些特征方程的超曲面
• rx=Rx+b的超曲面'>3.3.1 伪黎曼空间型中位置向量满足L_rx=Rx+b的超曲面
• 3.3.2 伪黎曼空间中平均曲率向量场满足某些特征方程的超曲面
• 3.3.3 Lorentz空间型中满足φ=λψ的完备类空超曲面
• 3.4 Lorentz流形中常2阶平均曲率类空超曲面的稳定性
• 3.4.1 引言及预备
• 3.4.2 Lorentz流形中的变分问题
• 3.4.3 Lorentz流形中常2阶平均曲率类空超曲面的稳定性
• 4 Lorentz空间型中的类空超曲面
• 4.1 反de Sitter空间中的常平均曲率类空超曲面
• 4.1.1 引言
• 4.1.2 具有两个互异主曲率的常平均曲率类空超曲面
• 4.1.3 定理4.1.7的证明
• 4.2 反de Sitter中的1-极大类空超曲面
• 4.3 Lorentz空间型中具有两个互异主曲率的常数量曲率类空超曲面
• 4.4 Lorentz空间型中常r阶平均曲率类空超曲面
• 结论
• 参考文献
• 攻读博士学位期间发表、完成学术论文情况
• 致谢
• 作者简介