几类神经网络模型的动力学研究

论文摘要

本学位论文通过运用拓扑度理论,不动点定理,微分不等式技巧,矩阵理论及Lyapunov泛函等相结合的方法对几类神经网络模型的动力学性态进行了定性研究（包括局部和全局稳定性,周期振动, Hopf分支等）,我们的结论削弱了众多已有结果中对激活函数和联结矩阵的限制,从而对于设计实用稳定的神经网络系统和研究生物神经网络的长时间动态行为都有重要的理论指导意义.全文的内容共分为六章.在第一章中,我们首先回顾了神经网络发展的历史并分析了用泛函微分方程来刻画神经网络模型的依据.然后,对本文所要研究的几类神经网络模型的应用背景与动力学性态的研究现状进行说明.我们也简要地说明了本论文所研究问题的意义.在第二章中,我们主要给出了本文将要用到的一些基本定义和基本引理.第三章中,在放松已有文献所要求的条件下,不需要激活函数在R上有界,也不要求激活函数可微和严格单调,利用矩阵理论、不动点理论和微分不等式的分析技巧,我们获得了一类推广的Cohen-Grossberg模型平衡点的存在性和全局指数稳定性的新结论,并给出了实例说明和数值模拟.在第四章中,我们讨论两类应用广泛的模型:单个神经元的模型和二元神经网络模型.通过利用重合度理论中的延拓定理和微分不等式的分析技巧,在放松已有文献所要求的条件下,获得了这两类模型周期解的存在性与全局指数稳定性的新结论.数值模拟的结果与我们的理论相一致.在第五章中,我们研究了细胞神经网络（Cellular Neural Network）模型和Cohen-Grossberg神经网络模型解的周期振动性质.利用拓扑度理论,微分不等式技巧,矩阵理论及Lyapunov泛函等相结合的方法,我们得到了关于细胞神经网络周期解的存在性与全局指数稳定性的新结论,同时,我们也获得了Cohen-Grossberg神经网络模型周期解存在性的新结论.数值模拟表明这些结论在较大程度上改进和推广了一些已有文献的结论.在第六章中,我们研究具有三个和四个时滞的两类二元Hopfield网络,在激活函数连续可微的条件下,讨论了线性稳定性.通过对超越方程的特征根的分布进行分析,我们建立了与时滞无关和相关的稳定性结论.我们也找到了Hopf分支值.最后,利用中心流形定理和正规型理论建立了判定分支方向和稳定性算法,并进行了应用举例和数值模拟.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 神经网络研究的历史简介
• 1.2 几类主要神经网络模型介绍
• 1.2.1 Hopfield模型
• 1.2.2 细胞神经网络（CNN）模型
• 1.2.3 Cohen-Grossberg模型
• 1.3 本文所研究问题的数学背景和目的
• 1.4 本论文的结构安排
• 第2章 预备知识
• 2.1 矩阵知识准备
• 2.2 度理论及一个延拓定理
• 2.3 Hopf分支所需要的一些基本知识
• 第3章 一类推广的Cohen-Grossberg模型的稳定性分析
• 3.1 引言
• 3.2 模型介绍
• 3.3 主要结果及其证明
• 3.4 应用举例及其数值模拟
• 第4章 两类小规模网络模型的动力学分析
• 4.1 引言
• 4.2 单个神经元模型的动力学分析
• 4.3 二元神经网络模型的动力学分析
• 4.4 应用举例及其数值模拟
• 第5章 两类大规模神经网络模型的动力学研究
• 5.1 引言
• 5.2 细胞神经网络模型周期解的存在性与全局指数稳定性
• 5.3 Cohen-Grossberg神经网络模型周期解的存在性
• 5.4 应用举例及其数值模拟
• 第6章 两类二元Hopfield网络的线性稳定性与分支研究
• 6.1 引言
• 6.2 具有三个时滞的二元Hopfield神经网络的线性稳定性与分支研究
• 6.2.1 分支方向与分支稳定性
• 6.3 具有四个时滞的二元Hopfield神经网络的线性稳定性与分支研究
• 6.4 应用举例及其数值模拟
• 结论
• 参考文献
• 附录A 攻读博士学位期间所发表和投稿的论文目录
• 致谢