伪有效代数及格值模糊拓扑空间中若干问题的研究

论文摘要

本文既研究了有效代数和伪有效代数中的问题又研究了格值拓扑空间中的问题,但研究想法都来自于格上拓扑学。我们知道,量子逻辑是量子力学（它是一套构造物理学理论的规则）存在的数学基础。自从1936年,G.Birkhoff和J.von.Neumann提出量子逻辑的概念以来,完备的复可分的无限维希尔伯特空间中的闭子空间格,作为一种正交模格,一直是量子逻辑研究的主要数学模型。然而,随着量子逻辑研究的发展,有效代数和伪有效代数这两类量子结构已经逐渐成为当前量子逻辑研究的主要对象。本文的第一部分主要从格论角度研究有效代数和伪有效代数的代数性质。由于不分明拓扑空间比经典拓扑空间多了一个层次结构,所以在不分明拓扑学中一种理论的建立要比经典拓扑学中相应的理论的建立要困难得多。关于单位区间的问题就是如此:从Hutton的第一个不分明单位区间I（L）到刘应明和罗懋康的不分明单位区间I*（L）,再到王国俊和徐罗山的H（λ）单位区间,都有各自的不足之处。因此王国俊在文献[23]中指出:“如何构造更好的标准单位区间是值得进一步探讨的问题”。本文的第二部分正是沿着如何构造更好的标准单位区间这一线索研究了不分明拓扑空间中的若干问题。本文的主要内容如下:（1）在伪有效代数中引入强同余、Riesz强同余、正规弱Riesz理想以及弱代数子集等概念,并详细讨论了它们的性质。建立了伪有效代数中的Riesz强同余与正规弱Riesz理想之间的序同构关系,证明了格序伪有效代数E关于正规弱Riesz理想I的商是线性的当且仅当I是素正规弱Riesz理想以及商是伪MV-代数当且仅当I是一族素正规弱Riesz理想的交。此外,给出了伪有效代数中弱代数子集的等价刻画,证明了伪有效代数中的弱代数子集与正规弱Riesz理想是一一对应的。（2）研究了相容有效代数的一些性质,回答了S.Gudder在文献[18]中提出的一个公开问题:E=∏i∈IEi,（I为任意指标集）是相容有效代数当且仅当每一个Ei是相容有效代数?此外,引入了有效代数中的Well Inside关系、正则元以及正规元的概念,证明了C（E）（?）N（E）（?）P（E）,R（E）和N（E）都是E的正规子-有效代数,以及N（E）是正交模偏序集等,其中C（E）,N（E）,R（E）和P（E）分别表示E中的所有中心元、正规元、正则元以及主元组成的集合。（3）研究了L-Lowen空间的基本性质。引入了L-拓扑空间的Lowen化空间,并以Hutton单位区间的外Lowen化空间Ie（L）为标准单位区间探讨了这类空间的紧化问题。此外,讨论了诱导空间、弱诱导空间和L-Lowen空间的诱导I（L）空间。（4）引入了（IC）空间的定义,并研究了（IC）空间的基本性质。引入了L-拓扑空间的（IC）化空间,并以Hutton单位区间的外（IC）化空间（?）（L）作为标准单位区间,建立了这类空间的嵌入理论并给出了（IC）式Stone-（?）ech紧化定理。此外,还引入了（IC）LM-模糊拓扑空间的定义,研究了（IC）LM-模糊拓扑空间基本性质和范畴性质,得到了许多好的结果。（5）引入了一种k-L-空间和kR-L-空间的定义,并且证明了[0,1]-拓扑空间（X,δ）是k-[0,1]-空间当且仅当（X,δ）是局部超F1紧空间的商空间以及k-[0,1]-空间（X,δ）与局部超F1紧空间（Y,η）的乘积空间是k-[0,1]-空间等结论。此外,通过引入超F1紧开拓扑证明了UF1T2k-[0,1]-Top（所有超F1T2k-[0,1]-拓扑空间和L-连续映射组成的范畴）以及kR-[0,1]-ST0CReg-（所有次T0的（IC）完全正则kR-[0,1]-拓扑空间和L-连续映射组成的范畴）都是笛卡尔闭范畴。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 前言
• 第一章 预备知识
• 1.1 格论的相关概念与结论
• 1.2 L-拓扑空间的相关概念与结论
• 1.3 有效代数和伪有效代数的相关概念与结论
• 1.4 范畴论的相关概念与结论
• 第二章 伪有效代数中的同余、理想、商和弱代数子集
• 2.1 伪有效代数中的同余和理想
• 2.2 伪有效代数中的商和弱代数子集
• 第三章 相容有效代数的笛卡尔积与有效代数中的正则元、正规元
• 3.1 相容有效代数的笛卡尔积
• 3.2 有效代数中的正则元、正规元
• 第四章 L-Lowen空间
• 4.1 L-Lowen空间及其性质
• 4.2 L-拓扑空间的Lowen化空间
• 4.3 L-Lowen空间的分离性,紧性与紧化
• 4.4 L-Lowen空间的诱导I（L）拓扑空间
• 4.5 弱诱导空间的诱导I（L）拓扑空间
• 第五章 （IC）空间
• 5.1 （IC）空间及其性质
• 5.2 L-余拓扑空间的（IC）化空间
• 5.3 L-区间的（IC）化空间的紧性
• 5.4 （IC）-完全正则分离性与（?）（L）的万有性
• 5.5 （IC）-完全正则化空间
• 5.6 （IC）LM-模糊拓扑空间
• R-L-空间'>第六章 k-L-空间和k_R-L-空间
• 6.1 k-L-空间
• R-L-空间'>6.2 k_R-L-空间
• 1紧开拓扑'>6.3 超F₁紧开拓扑
• R-L-空间的诱导I（L）拓扑空间'>6.4 k-L-空间及k_R-L-空间的诱导I（L）拓扑空间
• 总结
• 参考文献
• 攻读博士学位期间的研究成果
• 致谢