分数阶偏微分方程的数值解及基本解

分数阶偏微分方程的数值解及基本解

论文摘要

分数阶微分方程越来越来多地出现在各个研究领域和工程应用,因此,必须找出一种有效、实用的方法来求解这一类方程。本文首先考虑空间分数阶偏微分方程(即在一个标准的含扩散,对流和反应项的抛物型偏微分方程中,用分数阶导数代替空间二阶导数)混合问题的数值解,对分数阶导数采用Gru&&n wald改进型公式离散的方法,对整数阶导数采用差商方法进行离散,从而构造出显式和隐式有限差分格式,并证明它们的稳定性和收敛性,最后给出数值例子。其次,本文考虑空间分数阶对流-扩散方程(即在一个标准对流-扩散方程中,用分数阶导数代替空间二阶导数)混合问题的数值解,采用积分方法(有限体积方法)构造出它们的显式和隐式有限差分格式,其中分数阶导数采用Gru&&n wald公式离散,并证明它们的稳定性和收敛性,最后给出数值例子。最后,本文考虑空间时间分数阶对流-扩散方程(即在一个标准对流-扩散方程中,用β(0 <β≤1)阶导数代替时间一阶导数,用α(1 <α≤2)阶导数代替空间二阶导数,用γ(0 <γ≤1)阶导数代替空间二阶导数)的分析解,通过Fourier变换,Laplace变换以及其逆变换等方法求得方程的分析解,并对其基本解进行讨论。

论文目录

  • 第一章 引言及预备知识
  • 1.1 引言
  • 1.2 预备知识
  • 第二章 空间分数阶微分方程混合问题的数值方法
  • 2.1 空间分数阶微分方程混合问题的有限差分格式
  • 2.2 稳定性分析
  • 2.3 收敛性分析
  • 2.4 数值例子
  • 第三章 空间分数阶对流扩散方程混合问题的数值方法
  • 3.1 空间分数阶对流扩散方程混合问题的有限差分格式
  • 3.2 稳定性分析
  • 3.3 收敛性分析
  • 3.4 数值例子
  • 第四章 空间—时间分数阶对流扩散方程的分析解及基本解的性质
  • 4.1 空间-时间分数阶对流扩散方程初边值问题的基本解
  • 4.2 空间分数阶对流扩散方程
  • 总结
  • 参考文献
  • 致谢
  • 个人简历
  • 相关论文文献

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