二次型图的自同构及其应用

论文摘要

我们用Qn（Fq）表示特征为2的有限域Fq上全体n（≥2）元二次型的集合。在Qn（Fq）上定义关系 （x,y）∈Ri（?）次型x-y的类型为i, 这里x,y∈Qn（Fq）,i=0,1,2+,2-,3,4+,…。由此所定义的关系确定了一个类数为n+[n/2]的对称结合方案Xn。结合方案Xn的每一个关系Ri对应一个二次型图Γi,它以Qn（Fq）为顶点集,两个顶点x和y相邻当且仅当x-y的类型为i。 在本文中,我们利用矩阵方法确定了二次型图Γ2+的全部自同构,证明了如下: 定理A:设n≥2,q为偶数,Γ2+是有限域Fq的n元二次型图。那么,Γ2+的每一个自同构都具有如下形式 x（?）PtXσP+Y,（?）X∈Qn（Fq）,（1） 这里P∈GLn（Fq）,σ是Fq的一个自同构,Y∈QnFq),除非（n,q）=（3,2）,当（n,q）=（3,2）时,Γ2+的每一个自同构或者具有形式（1）,或者是形如（1）的自同构与形如（2）的自同构之积,这里 a*=a+b+c+f。 应用定理A,我们证明了结合方案Xn的每一个自同构都具有形式（1）。

论文目录

• 第一章 绪论
• §1.1 引言
• §1.2 本文的主要结果与结构安排
• 2+的结构'>第二章 二次型图Γ₂₊的结构
• 2+中两个顶点之间的距离'>§2.1 二次型图Γ₂₊中两个顶点之间的距离
• 2+中的几何结构'>§2.2 二次型图Γ₂₊中的几何结构
• 2+的自同构'>第三章 二次型图Γ₂₊的自同构
• §3.1 情形（Ⅰ）：n=2
• §3.2 情形（Ⅱ）：n≥3，q≥4
• §3.3 情形（Ⅲ）：n≥4，q=2
• §3.4 情形（Ⅳ）：n=3，q=2
• 第四章 二次型图的应用
• §4.1 二次型结合方案的自同构
• §4.2 利用二次型图构作3-设计
• 参考文献
• 攻读博士学位期间完成的学术论文
• 致谢