不适定问题高效算法研究

论文摘要

反问题在数学上往往是不适定的,对于数据很小的扰动将使解产生巨大的变化,因此利用数值求解非常困难。通常利用正则化算法可以得到稳定的数值解。从算法上讲,处理不适定问题的正则化算法可以分为确定性方法以及随机方法。确定性方法理论相对完整,随机方法着重讨论数据以及模型的不确定性对问题的影响。本文试图针对抛物型方程热源识别问题以及Robin系数识别问题设计高效算法,特别对解的不确定性进行量化。全文分为三个部分,分别研究求解不适定问题的确定性方法和随机方法以及处理随机偏微分方程的基于ι1优化的随机配点方法。第一部分讨论基本解方法结合确定性止则化理论处理热源项分别为时间相关及空间相关的热源识别问题。基本解方法是一种真正的无网格方法,其基本思想是将问题的解写成微分算子基本解线性组合形式,避免了对区域的离散。为了能够直接利用基本解方法,首先通过变换将原问题转化成齐次多边值问题,通过该变换可以看出热源项仅为时间相关以及空间相关的热源问题的不适定程度与数值微分相当。由于所得到的线性方程组是严重病态的,本文采用离散Tikhonov正则化方法并利用GCV策略选取正则化参数对病态方程组进行处理。第二部分考虑贝叶斯推断方法在不适定问题中的应用。首先考虑在不同先验分布假设下,贝叶斯方法和经典正则化方法的关系,以及贝叶斯方法在选取正则化参数上的灵活性。然后给出不同的抽样方法对后验状态空间进行求解,并讨论抽样方法在贝叶斯方法解决不适定问题中的优缺点,以及可能采取的解决办法。接着,分析利用分层贝叶斯模型得到的增广Tikhonov方法处理一般线性问题的框架。最后将所讨论的方法具体应用到Robin系数识别以及热源识别问题中。第三部分提出结合压缩感知理论的随机配点方法。首先考虑贝叶斯随机替代模型与随机偏微分方程的关系。然后细致研究基于ι1,优化的随机配点方法,并给出该算法的收敛性结果。数值结果说明利用基于ι1优化的随机配点方法可以大大降低计算成本,为设计快速贝叶斯方法提供了新思路。

论文目录

• 中文摘要
• Abstract
• 第一章 前言
• 1.1 反问题和不适定问题
• 1.2 正则化理论及算法
• 1.2.1 正则化理论
• 1.2.2 正则化算法
• 1.3 本文主要工作
• 第二章 基本解方法及其在热源识别中的应用
• 2.1 热源问题识别问题
• 2.1.1 空间相关热源问题
• 2.1.2 时间相关热源问题
• 2.2 基本解方法及其正则化
• 2.2.1 求解热方程的基本解方法
• 2.2.2 确定性正则化方法
• 2.3 数值结果
• 2.3.1 空间相关热源识别
• 2.3.2 时间有关热源识别
• 2.4 本章小结
• 第三章 贝叶斯推断方法
• 3.1 贝叶斯方法
• 3.1.1 贝叶斯推断
• 3.1.2 先验模型及其正则化
• 3.1.3 分层贝叶斯模型
• 3.1.4 MCMC
• 3.2 增广Tikhonov方法
• 3.2.1 分层模型及增广Tikhonov方法
• 3.2.2 数值格式
• 3.3 数值结果
• 3.3.1 Bayesian方法处理Robin系数识别问题
• 3.3.2 增广Tikhonov方法处理热源识别问题
• 3.4 本章小结
• 第四章 处理随机偏微分方程的CS-gPC方法
• 4.1 贝叶斯推断与随机替代模型
• 4.1.1 概率空间
• 4.1.2 贝叶斯推断
• 4.1.3 随机正问题
• 4.2 随机偏微分方程问题描述
• 4.2.1 一般方程
• 4.2.2 有限维噪音假设及KL分解
• 4.3 处理随机偏微分方程的gPC方法
• 4.3.1 gPC展开
• 4.3.2 随机Calerkin方法
• 4.3.3 随机配点方法
• 1的随机配点方法'>4.4 基于l₁的随机配点方法
• 4.4.1 压缩感知处理稀疏重构
• 1优化与函数逼近'>4.4.2 l₁优化与函数逼近
• 1优化的随机配点方法'>4.4.3 基于l₁优化的随机配点方法
• 4.5 数值结果
• 4.5.1 函数逼近
• 4.5.2 随机椭圆方程
• 4.5.3 随机发展方程
• 4.6 本章小结
• 第五章 结论及展望
• 参考文献
• 个人简历
• 致谢