拟周期小波边界元法求解拉普拉斯方程

论文摘要

边界元法(BEM)是求解偏微分方程的一种有效的数值计算方法,边界元法将求解区域内的微分方程边值问题归化到边界上,然后在边界上离散求解。边界元法主要优点是降维,从而使问题所需的方程少,数据少,求解工作大为简化,这在处理高维问题时具有优势。小波作为一个新兴的数学分支,应起始于S. Mallat和Y. Meyer在八十年代中后期所做的工作,即构造小波基的通用方法,此后小波得到了迅猛的发展。小波变换克服了传统Fourier变换的不足,是继Fourier分析之后的一个突破性进展。小波在时域和频域都具有良好的局部化特性,在应用领域更是掀起了一股应用小波的热潮,它具有丰富的理论,应用十分广泛,如信号处理、图像分析等,是工程应用中强有力的方法和工具,给许多相关领域带来了崭新的思想,并使其被越来越多的数学研究工作者所关注,由于小波兼有光滑性和局部紧支撑性质,能更好的处理积分和微分方程的数值求解问题。小波BEM自上世纪90年代提出以来,一直是国内外学者研究的热点。小波BEM具有迭代效率高、矩阵预条件简单等优点,因此成为众多学者关注的一种BEM快速求解方法。全文分为四章,第一章主要介绍了论文选题背景,小波与边界元研究的历史和现状,以及本文要做的工作。第二章介绍了小波分析的基本理论,包括小波和小波变换的定义、性质,多分辨分析、尺度函数的定义、性质以及周期拟小波的基本理论。第三章介绍了边界元基本理论,加权余量法、变分法概述,以及边界积分方程的推导过程。第四章是本文的主要工作,主要研究了利用拟周期小波边界元方法讨论二维拉普拉斯方程的数值求解问题。首先用边界元方法将待求方程化为边界积分方程,然后用拟周期小波作为基底,将积分方程在边界上展开,化为对应的代数方程组,求解系数,得到方程的近似解。在对方程组求解过程中,系数矩阵作小波矩阵变换,利用多尺度方法,求解新的代数方程组,减少计算量,并分析了此算法的收敛性、算法复杂度及误差分析。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 课题背景
• 1.2 边界元和小波变换的历史及发展
• 1.3 本文主要工作和结构
• 第2章 小波基本理论
• 2.1 小波的定义
• 2.2 多分辨分析的主要理论
• 2.3 尺度函数的一些重要性质
• 2.4 周期拟小波理论
• 2.5 本章小结
• 第3章 边界元理论
• 3.1 加权余量法
• 3.2 变分法概述
• 3.3 位势问题的加权余量法
• 3.4 拉普拉斯方程的基本解
• 3.5 积分方程
• 3.6 积分方程的离散
• 3.7 本章小结
• 第4章 小波边界元算法
• 4.1 求解拉普拉斯方程的小波边界元算法
• 4.2 拟小波边界元算法
• 4.3 拟小波边界元算法的收敛性
• 4.4 误差分析
• 4.5 算例分析
• 4.6 本章小结
• 结论
• 参考文献
• 致谢