论文摘要
刻画矩阵集之间保持不变量的映射结构问题被称为保持问题.近几十年来,保持问题已成为国际矩阵论研究中一个十分活跃的领域.这一方面是因为它具有重要的理论价值;另一方面是因为许多问题在量子力学、微分几何、微分方程、系统控制和数理统计等领域有着广泛的实际应用背景;再者,通过对保持问题的研究可以得到关于矩阵的不变量、函数、集合和关系等重要理论成果.从映射的角度来说,保持问题可分为:线性保持问题、加法保持问题和更一般的保持问题.从保持的不变量的角度来说,保持问题可分为:保持子集、保持关系、保持函数和保持变换.本文针对矩阵空间之间的几个保持问题进行了系统的研究,概括起来有以下几个方面:（1）利用交错矩阵空间Kn（F）上保持秩2和秩4矩阵的结论,刻画了不同维的交错矩阵空间之间保持伴随矩阵的线性映射φ: Kn（F）→K<sub>m（F）的形式,证明其可以归结到同维的情形.（2）利用上三角矩阵空间Tn（F）上保持秩1矩阵的的结论,刻画了Tn（F）上保持秩可加的线性映射的形式.同时,作为应用,还刻画了Tn（F）上保持秩可减的线性映射的形式,以及Tn（F）上使得“rank（A + B） = |rankA - rankB| （?）rankφ（A + B） = |rankφ（A） - rankφ（B）|”成立的线性映射φ的形式.（3）就域F的特征不为2和为2两种情况,分别刻画了从Sn（F）到Mm（F）及从Sn（F）到Sm（F）保持群逆的线性映射的形式.（4）利用上三角矩阵空间Tn（F）上保持秩1矩阵的结论,刻画了Tn（F）上保持秩交换的加法满射的形式.（5）刻画了特征不为2的体K上矩阵空间Mn（K）上保持某种非平凡乘性矩阵函数的加法满射的形式.同时,作为应用,分别刻画了特征不为2的体K上矩阵空间Mn（K）上的保持Dieudonné行列式和保持可逆矩阵的加法满射,以及保持秩可加的加法双射,同时也刻画了四元数体Q上矩阵空间Mn（Q）上保持行列式detq的加法满射.