无网格数值模拟的并行算法及并行实现研究

论文摘要

无网格数值模拟是近十年来迅速发展起来的一种数值计算方法。这种方法建立在节点基础之上，无需网格信息，能够消除或部分消除网格划分所带来的困难。由于其无网格、精度高、收敛速度快等特点，在许多领域已获得广泛应用，具有很大的发展潜力。 无网格数值模拟中涉及到大量的矩阵运算，计算量比经典的计算方法明显偏大，对其并行算法及并行实现进行研究具有重要的意义。 本论文从如下七个方面对无网格数值模拟的并行算法进行研究： 1．并行节点搜索。如果节点规模较大，无网格数值模拟中节点搜索需要花费大量的时间。分析计算表明：使用并行顺序搜索或并行桶搜索算法，可以大大提高节点搜索的效率。 2．并行样点搜索。为取得较高的积分精度，无网格求解区域一般布置远远多于节点数目的样点，样点搜索也将耗费大量时间。经分析表明，使用并行顺序搜索或并行几何搜索算法，可以减少样点搜索时间。 3．无网格形函数及其导数的并行计算。无网格形函数及其导数的计算涉及到大量矩阵积、矩阵向量积、矩阵逆、矩阵求导、矩阵逆的导数等运算，计算量很大。采用划分算法，将计算任务分配到各个处理器，可以大大减少计算时间。在任务分配以后，形函数己自动实现中粒度并行计算，没有必要再进行细化。 4．数值积分的并行计算。精确的数值积分是无网格数值模拟的难点之一，讨论了适合于无网格数值积分的三种技术。计算结果表明：数值积分是无网格方法的一个非常重要的环节，将直接影响到方法的精度。采用单位分解积分是一个很好的选择。 5．本质边界条件的并行处理。本质边界条件的处理也是无网格数值模拟的难点之一，讨论了多种本质边界条件的处理方法，并研究了边条处理方法的并行计算情况。采用修正变分原理、罚函数法或基于达朗伯原理的配置法来处理本质边界条件，都是很好的选择。 6．线性方程组的并行求解。使用并行高斯消元或并行预处理共轭梯度法求解方程组。前者具有高的求解精度；后者具有很快的收敛速度，但只适合于对称正定矩阵。 7．负载平衡。采用多层图形划分算法进行负载平衡，研究了无网格数值模拟中任务划分的具体实现。分析表明，负责平衡是无网格数值模拟并行计算非常关键的一个环节，直接影响到并行计算的效率。 基于单位分解和有限覆盖，提出了特别适合于无网格并行计算的单位分解积分方法，在此基础之上研究了基于单位分解积分的无网格伽辽金方法。这是一种真正的

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 目录
• 缩写说明
• 符号说明
• 第一章 绪论
• 1.1 引言
• 1.2 研究历史及现状
• 1.2.1 无网格数值模拟
• 1.2.2 无网格数值模拟的并行计算
• 1.3 无网格模型
• 1.3.1 节点为中心模型
• 1.3.2 样点为中心模型
• 1.4 移动最小二乘法
• 1.4.1 移动最小二乘法的建立
• 1.4.2 MLS形函数的性质
• 1.4.3 再生性
• 1.4.4 权函数
• 1.4.5 基于正交基函数的MLS
• 1.5 小结
• 第二章 无网格数值模拟的并行算法
• 2.1 引言
• 2.2 节点产生算法
• 2.2.1 手工布置节点
• 2.2.2 利用网格生成算法
• 2.2.3 基于节点浓度控制
• 2.3 节点搜索
• 2.3.1 顺序搜索法
• 2.3.2 桶搜索法
• 2.4 样点搜索
• 2.4.1 样点顺序搜索算法
• 2.4.2 样点几何搜索算法
• 2.5 任务划分及负载平衡
• 2.5.1 任务划分算法
• 2.5.2 无网格方法中任务划分实施
• 2.6 无网格形函数及其导数的并行计算
• 2.7 方程组的求解
• 2.7.1 直接解法和迭代解法
• 2.7.2 共轭梯度法（CG）
• 2.7.3 预处理共轭梯度法（PCG）
• 2.7.4 并行预处理共轭梯度法（PPCG）
• 2.8 小结
• 第三章 无网格数值模拟中的本质边界条件处理及其并行计算
• 3.1 引言
• 3.2 自然变分原理
• 3.3 Lagrange乘子
• 3.4 修正变分原理
• 3.5 罚函数法
• 3.6 增广Lagrangian法
• 3.7 变换法
• 3.8 与有限元耦合
• 3.9 配置法
• 3.9.1 直接配置法
• 3.9.2 修正配置法
• 3.9.3 位移约束方程配置法
• 3.9.4 边界流量配置法
• 3.9.5 基于达朗伯原理的配置法
• 3.10 本质边界条件的弱形式
• 3.11 小结
• 第四章 无网格数值模拟中的数值积分及其并行计算
• 4.1 引言
• 4.2 节点积分
• 4.2.1 直接节点积分
• 4.2.2 稳定的节点积分
• 4.3 背景网格积分
• 4.3.1 原理
• 4.3.2 数值实施
• 4.3.3 背景网格积分的并行计算
• 4.3.4 一个数值算例
• 4.4 单位分解积分
• 4.4.1 原理
• 4.4.2 覆盖的大小和构造
• 4.4.3 单位分解函数的选择
• 4.4.4 单位分解积分
• 4.4.5 单位分解积分的并行计算
• 4.4.6 一个数值算例
• 4.5 小结
• 第五章 耦合近似函数的无网格方法及其并行计算
• 5.1 引言
• 5.2 耦合近似函数的建立
• 5.3 条件正定径向基函数
• 5.4 耦合近似函数的性质
• 5.5 曲线拟合及误差分析
• 5.6 耦合近似函数无网格方法的并行计算
• 5.7 数值算例
• 5.7.1 泊松方程问题
• 5.7.2 悬臂梁问题
• 5.8 小结
• 第六章 无网格数值模拟的并行计算实现及应用
• 6.1 引言
• 6.2 基于背景网格积分的无网格数值模拟的并行计算实现
• 6.2.1 应用于弹性动力学
• 6.2.2 Newmark-β直接积分
• 6.2.3 并行计算实施流程
• 6.3 基于单位分解积分的无网格数值模拟的并行计算实现
• 6.4 无网格局部Petrov-Galerkin方法的并行计算实现
• 6.4.1 应用于弹性动力学
• 6.4.2 并行计算实施流程
• 6.5 并行编程模型
• 6.6 数值算例及并行性能分析
• 6.6.1 矩形板问题
• 6.6.2 细长梁问题
• 6.7 小结
• 第七章 总结
• 7.1 论文的主要结论和贡献
• 7.2 论文的创新点
• 7.3 未来的展望
• 附录A MLS形函数连续性的证明
• 附录B MLS形函数约束性的证明
• 参考文献
• 攻读博士学位期间发表的论文
• 致谢