三角剖分上的多元有理样条及其应用

论文摘要

有理样条函数是多项式样条函数的一种自然推广,但由于有理样条空间的复杂性,所以有关它的研究成果不像多项式样条那样完美,有些问题还值得进一步研究。本文一方面继续研究具有很重要应用价值的三角剖分上的多元有理样条方法,着重讨论了平面三角剖分上C1有理插值样条函数。另一方面积极地将多元有理样条理论方面获得的结果应用到计算机辅助几何设计中去,研究曲面造型等方面的问题。主要工作如下: 第二章主要研究了C1有理样条曲面约束范围插值问题。首先具体描述了C1有理样条函数等价形式的重心坐标下的表达式。非均匀有理B样条（NURBS）在形状定义方面具有强大的功能和潜力,国际标准组织（ISO）于1991年颁布了关于工业产品数据交换的STEP国际标准,把NURBS作为定义工业产品几何形状的唯一数学方法。文献[1～3]中利用广义楔函数方法构造了平面三角剖分上的Cμ有理样条函数,并给出了它的等价混合形式,具有完全局部构造、表达式显示以及保形性好等特点,并且如上所述,NURBS方法的研究已经比较成熟并且应用广泛,因此研究有理样条插值曲面与NURBS标准形式的内在联系是十分有意义的。基于上述考虑,本章具体描述了C1有理样条函数等价形式的重心坐标下的表达式,搭建起了有理样条曲面与NURBS之间关系的桥梁,它是三个三次Bernstein-Bezier三角曲面片的凸组合。而三角Bernstein-Bezier曲面片自从Farin[4]1980年系统提出以来,已经得到了迅速发展和广泛应用,将这些结果应用到有理样条曲面的研究中去,必将促进有理样条曲面理论的发展。 进一步基于上述C1有理样条函数重心坐标下的等价表现形式,实现了约束范围插值。在计算机辅助几何设计中,一个普遍的问题就是构造具有一定连续性的光滑拼接插值曲面,然而当数据点本身具有一些内在的性质时,诸如:正性,单调性,凸性等,人们希望构造的曲面也能保持这些性质。例如,在某些CAD环境中,面对一组有限数据的用户,可能认为一种保持某些特征的插值格式是理想的。而实际问题中的物理特征常可用数学形式进行描述,例如在物理学中得到的有关密度,降雨量等的一组数据是正的,就物理方面而言,总希望建立在这组给定数据上的插值格式也是正的,这就是所谓保正插值问题。更为广泛的是约束范围插值问题,即所给数据点在约束曲面范围之内,所构造的曲面也必须在约束曲面范围之内。这个问题已经被广泛的研究,随着研究的发展,约束曲面从平面发展到三次多项式曲面,从单一的上界或下界约束发展到上下界约束。本文由Bezier曲面非负的充分条件得到了有理样条函数系数的约束条件,从而保证了有理样条函数的非负性,进一步将此方法推广,实现了约束曲面为三次多项式的上下界约束有理曲面插值。该方法是完全显示的,不需求解连续性方程组和泛函的极小值问题,并且通过调整因子进行调整,是一种局部方法,具有调整灵活、计算简便的特点。 第三章,基于广义楔函数方法讨论了球面上散乱数据插值问题。球面上构造函数的问题应用领域是很广泛的,包括大地测量学,地理物理学和气象学等,其基本模型均为定义于球面上的函数插值问题。由于广义楔函数方法对考虑有理样条函数问题具有通用性,因此

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论
• 1.1 多元样条函数简介
• 1.2 多元有理样条函数简介
• 1.2.1 光滑余因子方法
• 1.2.2 楔函数方法
• 1.2.3 广义楔函数方法
• 1.3 本文主要工作
• 1有理样条插值'>2 约束范围C¹有理样条插值
• 2.1 引言
• 1有理样条插值函数的等价形式'>2.2 三角剖分上的C¹有理样条插值函数的等价形式
• 2.2.1 Bernstein-Bézier三角曲面片
• 2.2.2 三个三次Bernstein-Bézier三角曲面片的凸组合
• 1有理样条插值曲面'>2.3 保正C¹有理样条插值曲面
• 1有理样条插值曲面'>2.4 约束范围C¹有理样条插值曲面
• 2.5 数值例子
• 1有理样条插值'>3 球面上的C¹有理样条插值
• 3.1 引言
• 3.1.1 圆Bernstein-Bézier多项式
• 3.1.2 球Bernstein-Bézier多项式
• 1有理插值样条'>3.2 球面上的C¹有理插值样条
• 1插值样条'>3.2.1 圆周上的C¹插值样条
• 1有理插值样条'>3.2.2 球面上的C¹有理插值样条
• 3.3 数值例子
• 4 依赖型值的非奇异自适应三角剖分方法
• 4.1 引言
• 2¹（△）和S₃¹（△）多元样条空间的非奇异三角剖分'>4.2 S₂¹（△）和S₃¹（△）多元样条空间的非奇异三角剖分
• 4.3 三角剖分节点的权值
• 4.3.1 离散范数
• 4.3.2 同一有理曲面片在不同三角形上的系数之间的关系
• 4.3.3 剖分节点的权值
• 4.4 依赖型值的非奇异自适应三角剖分算法和数值例子
• 4.4.1 算法
• 4.4.2 数值例子
• 结论
• 参考文献
• 创新点摘要
• 攻读博士学位期间发表学术论文情况
• 致谢
• 大连理工大学学位论文版权使用授权书