拟阵理论的范畴特征

论文题目: 拟阵理论的范畴特征

论文类型: 博士论文

论文专业: 基础数学

作者: 刘妮

导师: 李生刚

关键词: 简单拟阵,几何格,强映射,秩强映射,偏序集拟阵,组合概型,范畴等价

文献来源: 陕西师范大学

发表年度: 2005

论文摘要: 与不同学科相结合是拟阵理论研究的一个鲜明特征,它推动着拟阵这门年轻学科不断发展和壮大。本文着眼于拟阵的整体研究,把范畴论应用到拟阵理论中讨论了拟阵的一些范畴特征。在拟阵理论研究的已有结果中,有两对关系值得注意:一是经典拟阵理论中有限几何格与有限简单拟阵的关系,Welsh指出了有限几何格与有限简单拟阵的一一对应关系,那么从范畴的高度看,二者关系如何(比如由它们组成的范畴彼此是否同构或等价)是值得研究的新问题;二是偏序集拟阵研究中涉及到的偏序集拟阵与组合概型的关系,Marilena Barnabei等人把拟阵的凭借集取为偏序集,定义了偏序集拟阵并讨论了其基本性质,而且基于有限偏序集与有限分配格之间的对应关系,还定义了组合概型并且称之为偏序集拟阵在格论上的对应概念,那么它们之间能建立一一对应吗?如果可以,能找到合适的态射使相应的两个范畴具有良好的关系吗?深入地考虑这些问题无疑为拟阵论的研究提供了新的思路和新的课题。本论文旨在通过研究以上相应各范畴的性质,并且用范畴论的语言来准确地描述它们的良好关系。Higgs和Crapo在几何格上定义了强映射,Welsh和Kung定义了拟阵强映射,因此作者推测对于我们要解决的问题而言,几何格强映射(几何格同态)很可能就是几何格范畴的理想态射、拟阵强映射也极可能是拟阵范畴的理想态射。虽然拟阵范畴的概念也曾有人提出过,但有关的文献,特别是关于偏序集拟阵和组合概型上映射的文献却很少,这导致寻找合适的态射以建立理想的范畴比较困难,所以这里的工作只是对拟阵理论范畴性质的一个初步探论。本文的工作虽从拟阵论角度看有较深远的意义,但从范畴论的角度看,还有许多重要问题需要进一步研究。以下分三方面介绍本文的主要工作: 一.研究了以秩强映射为态射的有限拟阵范畴FMRS以及以强映射为态射的有限拟阵范畴FMS的基本性质,证明了以强映射为态射的有限拟阵范畴SFMS是FMS的反射子范畴。首先,指出了文献中关于强映射和弱映射的定义及其刻化的错误,引入了秩强映射(RS映射),反射闭集的映射(RF映射),反射独立集的映射(RI映射),秩弱映射(RW映射)等,在秩强映射的基础上修正并简化了强映射的定义,在文献的基础上重新定义了弱映射。其次,分别建立了以上述各类映射为态射的拟阵范畴,比较系统地研究了由全体有限拟阵与秩强映射构成的范畴FMRS和全体有限拟阵与强映射构成的范畴FMS的基本性质,得到了限制拟阵是它们的子对象、收缩不是FMRS或FMS的子对象,但却是FMS的商对象等结果,证明了FMRS不是代数范畴。此外还简单讨论了全体有限拟阵与弱映射构

论文目录:

前言

第一章预备知识

§1.1 范畴论的基本概念与结论

§1.2 格论和图论的基本概念与结论

§1.3 拟阵理论的基本概念与结论

第二章拟阵范畴

§2.1 强映射和秩强映射

§2.2 拟阵范畴FMS和FMRS

§2.3 弱映射和秩弱映射以及相应的拟阵范畴

§2.4 FMS的一个反射子范畴

第三章拟阵范畴的几何表现

§3.1 一般拟阵的几个公理及几何格的一个刻化定理

§3.2 几何格范畴

§3.3 半模格上的拟阵

§3.4 抽象范畴SFMS和SMS的几何表现

§3.5 具体范畴SMRS和SFMRS的几何表现

第四章偏序集拟阵范畴与组合概型范畴

§4.1 偏序集拟阵的几个公理系统

§4.2 新的秩函数和闭包算子及偏序集拟阵上的典型构造

§4.3 偏序集拟阵范畴

§4.4 组合概型范畴CS

§4.5 范畴等价

总结

致谢

参考文献

攻读学位期间的研究成果

发布时间: 2005-07-19

参考文献

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[5].图的匹配的若干结构性问题[D]. 王世英.郑州大学2000
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拟阵理论的范畴特征

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