弱Hopf代数与量子群

论文摘要

Hopf代数概念是上世纪40年代初，由代数拓扑学家在H.Hopf1941年研究流形时所做的工作基础上抽象发展起来的。自从J.Milnor和J.Moore撰写的题为“On the structure of Hopf algebras”的文章于1965年发表后，Hopf代数开始作为代数的一个分支逐渐被人们重视和研究。特别是从上世纪80年代中期至90年代初，由于量子群（数学物理中产生的Hopf代数）的兴起和Hopf代数作用理论的发展（它统一了以前独立研究的群作用，李代数作用以及分次代数的作用理论），Hopf代数的研究又注入了新的活力，并取得了重大进展。后来出现了许多Hopf代数的其它形式，如V.G.Drinfeld引进的拟Hopf代数，G.Bohm等人引进的弱Hopf代数以及V.G.Turaev引进的Hopf群余代数等。本博士论文从以下三个方面对Hopf代数与量子群理论做进一步的研究。 第一部分讨论了弱Hopf代数上的弱对极是正合的各种条件，研究了弱Hopf代数在代数上的作用理论。主要讨论了冲积的可分性；证明了L-R冲积上的Maschke定理以及研究了作为对角交叉积的特例—Drinfeld double上的性质。 第二部分研究了代数与余代数之间的缠扭结构以及与其密切相关的代数分解理论。主要证明了缠扭模上的基本定理；给出了两个双代数的R-扭积是双代数的一个充要条件。 第三部分研究了两个具体量子代数的性质。构造了一个新量子代数uq（osp（1，2，f））并研究了其中心结构；证明了量子代数Uq（osp（1，2））的同构定理。讨论了量子代数Uq（f（K，H））上的伴随作用并给出了其局部有限子代数的结构定理。

论文目录

• Introduction
• Background
• Summary
• Ⅰ Weak Hopf Algebras
• 1 Basic Definitions
• 1.1 Definition of weak Hopf algebras
• 1.2 Integrals in weak Hopf algebras
• 1.3 Braided weak Hopf algebras
• 1.4 Hopf module and comodule algebras
• 2 Weak Antipodes In Weak Hopf Algebras
• 2.1 Conditions for weak antipodes to be involution
• 2.2 The square of weak antipodes in braided weak Hopf algebras
• 2.3 Weak antipode of H and integrals in H
• 3 The Actions of Weak Hopf Algebras
• 3.1 Smash product algebras over weak Hopf algebras
• 3.2 Trace function and finiteness conditions for H-module algebras
• 3.3 The actions of weak Hopf algebras on fully bounded Noetherian algebras
• 3.4 Separability extensions
• 3.5 Diagonal crossed products
• 3.6 The Drinfeld double
• 3.7 L-R smash products
• 3.8 Kadison products and Connes-Moscovici products
• Ⅱ Entwining Structures And Factorization Structures
• 4 Entwining Structures
• 4.1 Definitions and examples
• 4.2 Fundamental theorem
• 5 Factorization Structures and Twisted Smash Products
• 5.1 Definitions and examples
• RB to be a Hopf algebra'>5.2 Conditions for A#_RB to be a Hopf algebra
• 5.3 A-algebras and R-twisted products
• Ⅲ Quantum Algebras
• q（osp（1, 2, f））'>6 Quantum Algebra U_q（osp（1, 2, f））
• q（osp（1, 2, f））'>6.1 Quantum algebra U_q（osp（1, 2, f））
• q（osp（1, 2, f））'>6.2 The super Hopf algebra structure of U_q（osp（1, 2, f））
• q（osp（1, 2, f））'>6.3 The center of U_q（osp（1, 2, f））
• 6.4 The isomorphism theorem
• q（f（K, H））'>7 Quantum Algebra U_q（f（K, H））
• q（f（K, H））'>7.1 Quantum algebra U_q（f（K, H））
• q（f（K, H））'>7.2 The locally finite subalgebra of U_q（f（K, H））
• Bibliography
• Appendix: List of Publications
• Acknowledgments