最大公因子封闭集上的幂LCM矩阵和LCM方程

论文摘要

设S = {x1,...,xn}是由n个不同正整数组成的集合. 设e为一个实数. 如果对所有的1 ≤i,j ≤n, 有（xi,xj） ∈S ,则称S 是最大公因子封闭的（gcd-closed）. 第i 行j 列元素由xi 和xj 的最小公倍数的e次幂[xi,xj]e 构成的n ×n矩阵（[xi,xj]e）,称为定义在S 上的e次幂LCM矩阵. 在这篇文章中证明了如果e ≥1并且n ≤7, 那么定义在最大公因子封闭集S上的幂LCM矩阵（[xi,xj]e）是非奇异的. 这证明了洪绍方在2004年提出的一个猜想在n ≤7及e ≥1时是正确的.洪绍方在2002年猜想:对于给定的正整数t,存在一个由t唯一决定的正整数k（t）, k（t）满足: 如果n ≤k（t）, 那么定义在任何最大公因子封闭集S = {x1,...,xn} 上的幂LCM矩阵（[xi,xj]t） 是非奇异的,但是对于n ≥k（t）+1,则存在一个最大公因子封闭集S = {x1,...,xn},使得其幂LCM矩阵（[xi,xj]t）是奇异的. 2004年曹炜证明了对任意给定的整数t ≥2,k（t） ≥9 等价于下面的不定方程（称为LCM方程）在约束条件下没有t次幂整数解:对于给定的整数x,用ω（x）表示x的不同素因子的个数并令y = [y1,y2,y3,y4],这本文中我们证明了当ω（y） < 4 时,（1’）没有t（≥2）次幂整数解,并且给出ω（y） = 4时方程（1’）有二次幂整数解的必要条件.进一步证明了y ≤1334025时,（1’）无二次幂整数解. 一般地,我们猜想k（2） ≥9 .

论文目录

• §1 引言
• i,x_j]^e）'>§2 最大公因子封闭集上的幂LCM矩阵（[x_i,x_j]^e）
• §3 平方LCM矩阵和LCM方程
• 参 考 文 献
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