有限元最佳超收敛后处理技术

论文摘要

本文主要研究有限元超收敛后处理理论,通过投影型插值建立一种新的误差估计方法,用来对非光滑问题的超收敛性进行分析,从而获得非光滑解双线性元的外推结果。借助于对高阶Green函数的精致估计,讨论了二次三角形元恢复导数的最佳估计及奇次矩形元恢复导数的最佳估计。本文主要内容有第一章主要介绍本文需要用到的基本定理,常用的记号以及模型问题。第二章详细地介绍了高阶离散Green函数理论,这一理论是一阶离散Green函数的推广。通过对高阶离散函数的一些精致估计,为高次矩形元的最佳超收敛性研究提供了有力的工具。第三章介绍了投影型插值算子理论,并由此给出了一种新的误差估计阶,使非光滑问题的超收敛及后处理更为简便。第四章利用第三章给出的新的误差估计方法,探讨了高阶矩形元的超收敛性。第五章利用新的误差估计方法讨论了双线性元的超收敛性及非光滑解双线性元的外推。第六章利用高阶离散Green函数估计对二次三角形元的恢复导数进行分析,获得了最佳估计,同时对奇次矩形元的恢复导数进行理论分析获得了3次矩形元的最佳估计。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 前言
• 1 预备知识
• 1.1 常用记号及Sobolev空间
• 1.1.1 常用的记号
• 1.1.2 Sobolev空间
• 1.2 模型问题
• 1.3 基本定理
• 2 高离散Green函数理论阶
• 2.1 离散δ函数及估计
• 2.2 权范数及估计
• 2.3 一阶Green函数及离散Green函数
• 2.4 高阶Green函数及离散Green函数
• 2.5 高阶Green函数的一个逐点估计
• 3 投影插值理论及新的误差阶定义
• 3.1 一维投影型插值
• 3.2 二维投影型插值
• 3.2.1 空间H（e）及其函数的展开
• 3.2.2 指标集和投影型插值
• k^v（Ω）及投影型插值'>3.2.3 有限元空间V_k^v（Ω）及投影型插值
• 3.2.4 空间H（Ω）
• 3.3 ω矩形元及误差阶新定义
• 3.3.1 ω矩形元的定义
• 3.3.2 误差阶的新定义
• 3.3.3 插值误差的基本估计
• 3.3.4 插值导数误差的估计
• 3.3.5 有限元空间中的一个估计
• 3.4 有限元解的一个平均超逼近估计
• 4 高次矩形元的超收敛性
• k^v型投影型插值的某些性质'>4.1 Π_k^v型投影型插值的某些性质
• 4.2 常系数问题的基本弱估计
• 4.3 强基本估计
• 4.3.1 单元片和单元片上的一个引理
• 4.3.2 强基本估计的证明
• 4.4 变系数问题的基本弱估计
• 5 双线性元的超收敛性及外推
• 5.1 ω矩形元及投影型插值误差估计
• 5.2 ω双线性插值误差的几个积分估计误差估计
• Ω（?）₁（u-u^I）（?）₁vdxdy'>5.2.1 ∫_Ω（?）₁（u-u^I）（?）₁vdxdy
• Ω（?）₂（u-u^I）（?）₁vdxdy'>5.2.2 ∫_Ω（?）₂（u-u^I）（?）₁vdxdy
• Ω（u-u^I）vdxdy和∫_Ω（?）₁（u-u^I）vdxdy'>5.2.3 ∫_Ω（u-u^I）vdxdy和∫_Ω（?）₁（u-u^I）vdxdy
• 5.3 变系数问题及其他
• 5.3.1 变系数问题
• 5.3.2 一般二阶椭圆问题和双线性元的第一基本估计
• 5.4 基本展开式和有限元外推
• 5.4.1 林氏积分恒等式
• 5.4.2 在u∈H（Ω）条件下的展开式
• 5.4.3 在u∈H（Ω）条件下的外推结果
• 5.4.4 数例分析
• 6 超收敛后处理技术
• 6.1 Z-Z方法的发展历史及现状
• 6.2 超收敛单元片恢复（SPR）技术
• 6.3 对称处理和几个引理
• 6.4 三角形二次元的后处理
• 6.4.1 局部对称点上的超逼近性
• 6.4.2 二次三角形元导数恢复算子及强超收敛性
• 6.4.3 数例分析
• 6.5 奇次矩形元的后处理
• 6.5.1 SPR处理及样本点的构造
• 6.5.2 一个强超逼近结果
• 6.5.3 奇次矩形元恢复导数的强超收敛性
• 6.5.4 数例分析
• 参考文献
• 附录 攻读学位期间所发表的学术论文目录
• 致谢