某些延迟微分方程的数值方法

论文摘要

本论文主要研究延迟微分方程的数值方法,并进行理论分析。一般情况下,只有极少数延迟微分方程能够获得精确解的解析表达式。因此,研究数值方法不仅在理论方面,而且在应用方面都显得尤为重要。本论文的研究成果如下:1.研究多比例延迟微分方程。获得了级数形式的精确解表达式,并通过对级数的截断得到了近似解,证明了近似解与精确解之间的误差是单调递减的,并且趋于零。如果节点在求解区域内互异而且稠密,则近似解一致收敛到精确解。2.提出了求解中立型抛物方程初边值问题的交替分组显式迭代方法。构造了二阶的无条件稳定的隐式差分格式和适用于并行计算的含参数的交替分组显式迭代方法,并证明了此迭代方法对任意初始值都是收敛的。数值实验表明,交替分组显式迭代方法精度高,且收敛速度快。3.研究二维非线性延迟抛物型微分方程交替方向差分方法。证明了此方法收敛且无条件稳定。4.给出了求解延迟抛物型微分方程的精细时程积分法,并证明了数值稳定性。利用四阶精度半离散差分格式把延迟偏微分方程转化为延迟常微分方程组,应用精细时程积分法于延迟常微分方程组,得到了高精度的近似解。5.研究多比例延迟微分方程初边值问题经典的区域分解方法,并讨论了其收敛性。给出了求解常延迟微分方程初边值问题的改进的区域分解方法,证明了此方法稳定并具有高精度。本论文以延迟常微分方程和延迟偏微分方程为模型构造了一些数值方法,并对每一个数值方法都进行了理论分析。数值实验表明本文提出的各种数值方法都是有效的。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 延迟微分方程的背景
• 1.2 延迟微分方程数值方法的研究现状
• 1.3 本论文的主要研究内容
• 第2章 比例延迟微分方程的再生核解法
• 2.1 引言
• 2.2 再生核解法及其理论分析
• 2.3 再生核解法的实现
• 2.4 数值算例
• 2.5 本章小结
• 第3章 中立型抛物方程的交替分组显式迭代法
• 3.1 引言
• 3.2 差分格式的建立
• 3.3 稳定性分析
• 3.4 差分格式的并行计算
• 3.4.1 交替分组显式并行迭代方法
• 1、ρ₂ 的选取方法'>3.4.2 参数ρ₁、ρ₂的选取方法
• 3.5 数值算例
• 3.6 本章小结
• 第4章 二维非线性时滞抛物型方程的交替方向差分法
• 4.1 引言
• 4.2 交替方向差分格式
• 4.3 相容性、稳定性与收敛性
• 4.4 数值算例
• 4.5 本章小结
• 第5章 时滞抛物型方程的差分精细积分法
• 5.1 引言
• 5.2 周期边界值问题的差分精细积分法
• 5.2.1 半离散高精度差分格式
• 5.2.2 精细积分法
• 5.2.3 数值稳定性
• 5.2.4 数值算例
• 5.3 第一边界值问题的精细时程积分法
• 5.4 本章小结
• 第6章 延迟微分方程的分解算法
• 6.1 引言
• 6.2 比例延迟微分方程的分解算法
• 6.2.1 分解算法的设计
• 6.2.2 分解算法的收敛性
• 6.2.3 两个算例
• 6.3 常延迟微分方程的分解数值算法
• 6.3.1 分解数值算法的设计
• 6.3.2 收敛性与稳定性
• 6.3.3 数值算例
• 6.4 本章小结
• 结论
• 参考文献
• 攻读博士学位期间发表的学术论文
• 致谢
• 个人简历