可展曲面上的插值曲线研究

论文摘要

在计算机辅助几何设计中,曲面上的插值曲线研究是一个十分重要的课题。本文主要讨论可展曲面上的插值曲线,经过分析,构造曲面上插值曲线的关键在于找到一个好的参数化方法,也就是如何将R2上一条曲线对应到曲面上,使得到的曲面上曲线的扭曲尽可能小。基于这样的一种思想,结合微分几何理论,本文通过构造等距对应将可展曲面展成平面,从而将可展曲面上的曲线插值归结为通常的R2上插值曲线的构造。分别针对已知型值点和型值点处的单位切矢以及只知道型值点而型值点处切矢未知的情况构造了C1和G2连续的插值曲线,并以可展曲面的三种类型:柱面、锥面、切线曲面为例构造了其上的插值曲线。文章最后还提出了一种选点修改法与能量法相结合的算法光顺可展曲面上的插值曲线。本文主要包括如下内容:1.对曲线曲面造型方法的相关内容作了简要介绍,简述了曲面上插值曲线的研究现状,回顾了曲线光顺技术的意义和发展现状。2.介绍了曲线曲面的基本理论,包括曲线的切矢、曲率、挠率以及曲线论基本公式,曲面论基本公式及曲面的法曲率、测地曲率、等距对应等。3.在已知型值点以及型值点处切矢的条件下,提出一种构造可展曲面上C1连续的插值曲线的方法,采用积累弦长作为参数,无需反算控制顶点。4.在已知型值点而型值点处切矢未知的情况下,采用积累弦长作为参数,利用二次三角B-样条来构造插值曲线,无需反算控制顶点,并证明了所得插值曲线是G2连续的。5.提出一种选点修改法与能量法相结合的算法光顺可展曲面上的插值曲线,以圆柱面为例对其上的插值曲线进行了光顺处理,并推导了光顺以后控制顶点的坐标,用matlab软件绘出光顺后的曲线及曲率图,图例显示该算法具有满意的效果。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• 1.1 曲线曲面造型技术的现状及发展趋势
• 1.2 曲面上插值曲线的现状分析
• 1.3 曲线的光顺技术简介
• 1.4 本文研究的主要内容及论文各章节安排
• 第二章 曲线曲面基本理论
• 2.1 曲线与曲面的参数表示
• 2.2 曲线基本理论
• 2.2.1 曲线的切矢及自然参数方程
• 2.2.2 曲线论的基本公式
• 2.2.3 曲率与挠率
• 2.3 曲面基本理论
• 2.3.1 曲面上曲线的切矢和曲面的法矢
• 2.3.2 曲面论基本公式
• 2.3.3 曲面的法曲率与测地曲率
• 2.3.4 直纹面与可展曲面
• 2.3.5 曲面的等距对应
• 1曲线插值方法'>第三章 可展曲面上的C¹曲线插值方法
• 3.1 引言
• 3.2 插值算法的导出
• 3.3 可展曲面到平面的等距对应
• 3.3.1 柱面到平面的等距对应
• 3.3.2 锥面到平面的等距对应
• 3.3.3 切线曲面到平面的等距对应
• 1 的曲线插值方法'>3.4 OXY 平面上C¹的曲线插值方法
• i以及切矢H_i的求法'>3.5 等距对应φ下型值点Q_i以及切矢H_i的求法
• 3.6 算法的实现及结果
• 2连续的曲线插值方法'>第四章 可展曲面上G²连续的曲线插值方法
• 4.1 引言
• 4.2 问题描述
• 2上G² 连续的曲线插值方法'>4.3 R²上G²连续的曲线插值方法
• 4.3.1 二次三角B-样条曲线及其性质
• 4.3.2 控制顶点的构造及插值算法的实现
• 4.4 可展曲面上插值曲线的连续性证明
• 4.5 算法的实现及结果
• 第五章 选点修改法与能量法相结合的可展曲面上插值曲线光顺算法
• 5.1 引言
• 5.2 “坏点”的判别准则
• 5.3 传统的选点修改法光顺可展曲面上的插值曲线
• 5.4 选点修改法和能量法相结合光顺可展曲面上的插值曲线
• 5.5 图形实例
• 第六章 总结与展望
• 6.1 全文总结
• 6.2 存在的问题及展望
• 致谢
• 参考文献
• 附录：作者在攻读硕士学位期间发表的论文