余模和模的Gorenstein性质

论文摘要

在经典同调代数中,模的投射维数、内射维数和平坦维数是重要且基本的研究对象。作为模的投射维数的概念的推广,Auslander和Bridger于1969年在文献[3]中对双侧Noether环R上的有限生成模定义了G-维数的概念（又见文献[2]）。几十年后,Enochs,Jenda和Torrecillas [20,21,23]推广了Auslander和Bridger的思想。他们定义了Gorenstein投射,内射和平坦模,并引入了任意模的Gorenstein同调维数的概念。Avramov, Buchweitz, Martsinkovsky和Reiten证明了,对Noether环上的有限生成模M,M是Gorenstein投射的当且仅当它的Gorenstein投射维数是0[10]。近年来,这些Gorenstein模已经有了很多形式的推广。特别地,Asensio, Enochs等人（[1,24]）在余模范畴中定义了Gorenstein内射和投射余模,并且研究了余模的Gorenstein内射和投射维数。而Bennis等人（[7]）引入了X-Gorenstein投射模的概念,其中X是包含投射模的模类。本文中,我们在任意的余代数C上定义并研究了Gorenstein余平坦和弱Gorenstein内射（余平坦）余模。同时,我们引入并研究了y-Gorenstein内射右R-模和y-Gorenstein平坦左R-模,其中y是包含所有内射右R-模的右R-模类。最后,我们研究了Gorenstein平坦（余挠）维数,FP-内射（FP-投射）维数和余挠对在A-Mod和A#H-Mod之间的关系。全文共分四章,内容如下第一章是引言,主要介绍了问题的背景和预备知识。在第二章中,我们在任意的余代数C上定义了Gorenstein余平坦和弱Gorenstein内射（余平坦）余模,并且证明了,在左半完全余代数C上,左C余模M是（弱）Gorenstein余平坦余模当且仅当M是（弱）Gorenstein内射余模。同时,我们研究了弱Gorenstein内射余模预覆盖和预包络的存在性问题。我们证明了在左半完全余代数C上,任意的C余模都有一个弱Gorenstein内射预包络（覆盖）。第三章我们引入了y-Gorenstein内射右R-模和y-Gorenstein平坦左R-模,其中y是包含所有内射右R-模的右R-模类。我们证明了关于Gorenstein投射,内射和平坦模的主要结果对于X-Gorenstein投射右R-模,y-Gorenstein内射右R-模和y-Gorenstein平坦左R-模仍然成立。设H是域k上的有限维Hopf代数,A是左H-模代数。在第四章中,我们证明了在右凝聚环A（或任意环A）上,如果A#H/A可分并且φ:A→A#H是可裂的（A,A）双模单同态,那么l.Gwd（A）=l.Gwd（A#H）（或l.cotD（A）=l.cotD（A#H）和l.Gcd（A）= l.Gcd（A#H））。同时,我们研究了FP-内射（FP-投射）维数在有限维Hopf代数下的作用。我们证明了在任意环A上,如果A#H/A可分并且φ：A→A#H是可裂的（A,A）双模单同态,那么l.FP-dim（A）=l.FP-dim（A#H）,并且l f p D（A）=l fpD（A#H）.最后,我们给出了余挠对在A-Mod和A#H-Mod之间的关系。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• Chapter 1 Preface
• §1.1 Background and main results
• §1.2 Symbols
• §1.3 Notions
• Chapter 2 （Weakly） Gorenstein injective and （weakly） Gorenstein coflat comodules
• §2.1 Introduction
• §2.2 Preliminaries
• §2.3 Gorenstein injective and Gorenstein coflat comodules
• §2.4 Weakly Gorenstein injective and weakly Gorenstein coflat comodules
• Chapter 3 X-Gorenstein projective and y-Gorenstein injective mod-ules
• §3.1 Introduction
• §3.2 y-Gorenstein injective modules
• §3.3 X-Gorenstein projective modules
• §3.4 y-Gorenstein flat modules
• Chapter 4 Some invariant homological properties under actions of finite-dimensional Hopf algebras
• §4.1 Introduction
• §4.2 Preliminaries
• §4.3 Gorenstein flat modules and actions of finite-dimensional Hopf algebras
• §4.4 FP-injective modules and actions of finite-dimensional Hopf algebras
• §4.5 Cotorsion pairs and actions of finite-dimensional Hopf algebras
• REFERENCES
• Papers published during my PhD program
• 致谢