具有时滞的传染病模型的稳定性和Hopf分支

论文摘要

近20年来，对时滞微分方程的稳定性和Hopf分支的研究引起了许多学者的普遍关注，尤其时滞引起模型产生Hopf分支从而诱发周期解是国内外学者感兴趣的课题之一。本文主要应用微分方程分支理论，研究了三类具有不同时滞的传染病模型，通过分析地方病平衡点处的特征方程，得到了地方病平衡点的稳定性和产生Hopf分支的充分条件。运用规范型定理和中心流行定理，分析了分支周期解的方向和稳定性等性质。揭示了时滞对地方病平衡点稳定性的影响。第二章研究了一类具有潜伏期时滞的SEIS传染病模型，以时滞为分支参数，运用Hopf分支理论，得到当时滞充分小时地方病平衡点是局部渐近稳定的，当经过一系列临界值时模型出现Hopf分支。进一步运用规范型定理和中心流行定理，得到关于分支周期解的方向和稳定性的计算表达式。最后，用Matlab等软件进行数值模拟验证了所得的理论结果。第三章建立了一类具有免疫期时滞的SEIRS传染病模型。用常微分方程稳定性与定性的方法，分析了地方病平衡点的局部渐近稳定性，得到了当0时地方病平衡点局部渐近稳定的充分条件。同时，研究了时滞对平衡点稳定性的影响，以时滞为分支参数，证明了当经过一系列临界值时模型出现Hopf分支。最后，用Matlab等软件举例验证了理论分析的正确性。第四章在前两章的模型的基础上，同时考虑了潜伏期时滞1和免疫期时滞2对疾病传播的影响，建立了一类具有两个时滞的SEIRS传染病模型。先后分别把时滞1，2作为分支参数，并运用了Hopf分支理论，得到了模型产生Hopf分支的充分条件。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 1 绪论
• 1.1 选题的背景及研究意义
• 1.2 国内外研究现状
• 1.3 本文的主要工作
• 1.4 预备知识
• 2 具有潜伏期时滞的 SEIS 传染病模型
• 2.1 模型的建立
• 2.2 地方病平衡点的稳定性和 Hopf 分支
• 2.3 Hopf 分支的方向和稳定性
• 2.3.1 建立抽象微分方程
• 2.3.2 Hopf 分支的方向和稳定性
• 2.4 Matlab 数值模拟
• 2.5 本章小结
• 3 具有免疫期时滞的 SEIRS 传染病模型
• 3.1 模型的建立
• 3.2 地方病平衡点的稳定性和 Hopf 分支
• 3.3 Matlab 数值模拟
• 3.4 本章小结
• 4 具有双时滞的 SEIRS 传染病模型
• 4.1 模型的建立
• 4.2 地方病平衡点的稳定性和 Hopf 分支的存在性
• 4.3 本章小结
• 5 总结与展望
• 5.1 总结
• 5.2 问题的展望
• 致谢
• 参考文献