广义Jacobi拟正交逼近和插值理论及其在高阶微分方程Petrov-Galerkin谱、谱元方法和配置方法中的应用

论文摘要

谱方法和拟谱方法作为计算微分方程的有效数值方法,在最近三十多年里获得了蓬勃的发展。它们具有高精度,从而成为科学和工程计算的重要工具之一。传统的谱方法以三角多项式、Legendre多项式和Chebyshev多项式为基函数计算周期问题和直角区域上的问题,并被广泛地应用于各种二阶和四阶微分方程边值和初边值问题。在实际应用中,拟谱方法和配置方法有时更受欢迎,此时仅需计算未知函数在插值节点上的值,并且比较容易处理非线性问题。拟谱方法和配置方法的理论基础是Legendre-Gauss和Chebyshev-Gauss型插值。一些研究者发展了加权Sobolev空间中的Jacobi正交逼近和Jacobi-Gauss型插值理论,由此提出了有界区域上退化型微分方程的Jacobi谱方法和拟谱方法,并经过适当的坐标变换把它应用于无界区域和某些对称区域问题的计算。Jacobi正交逼近还与三角形上的谱方法和无界区域上的有理和无理谱方法密切相关。人们一般考虑二阶微分方程,但高阶微分方程的数值方法也十分重要。最近,有些作者发展了广义Jacobi正交逼近,由此导致一类高阶微分方程的广义Jacobi谱方法。但它仅适用于高阶微分方程齐次Dirichlet边值问题,并且也不适用于区域分解谱和拟谱方法,及谱元方法。本文研究一维和二维广义Jacobi拟正交逼近和相关的Jacobi-Gauss-Lobatto插值理论,以及新的广义Jacobi谱方法,广义Jacobi谱元方法和配置方法。我们建立了一维广义Jacobi拟正交逼近理论。此类逼近精确拟合所逼近函数和其某些导数在端点的值,且在许多情况下保持通常正交逼近的精度,从而为一维高阶微分方程混合非齐次边值和初边值问题的Petrov-Galerkin谱和谱元方法提供了理论基础。作为应用,我们构造了一个奇次高阶微分方程初边值问题的Petrov-Galerkin谱方法,及一个四阶微分方程混合非齐次Dirichlet-Neumann边值问题的Petrov-Galerkin谱元方法,数值结果表明了这种方法的高效性。其次,我们建立了一维广义Jacobi-Gauss-Lobatto插值理论。这类插值在有限区间端点上拟合所逼近函数及其某些导数,为一维高阶微分方程的新拟谱方法提供了理论依据。作为应用,我们考虑了非线性Klein-Gordon方程的配置方法。最后,我们建立了二维广义Jacobi正交逼近和相关Jacobi-Gauss-Lobatto插值理论,由此诱导出一类新的谱和拟谱方法,且同时适用于奇异型和退化型高阶微分方程的数值解。作为应用,我们设计了两个二维奇异型和退化型四阶偏微分方程的谱格式。

论文目录

• 中文摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 1.1 谱和拟谱方法
• 1.2 Jacobi谱和拟谱方法
• 1.3 本文的主要工作
• 1.4 本文的基本结构
• 第二章 一维广义Jacobi拟正交逼近和插值理论及其应用
• 2.1 一维广义Jacobi正交逼近
• 2.2 一维广义Jacobi拟正交逼近
• 2.3 一维广义Jacobi-Gauss-Lobatto插值
• 2.4 若干直用
• 2.4.1 奇次高阶做分方程的：Petrov-Galerkin谱方法
• 2.4.2 非线性Klein-Gordon方程的配置方法
• 2.5 小结
• 第三章 高阶微分方程混合非齐次边值问题的Petrov-Galerkin谱元方法
• 3.1 任意有界区间上的广义Jacobi拟正交逼近
• 3.2 Petrov-Galerkin谱元方法
• 3.3 数值结果
• 3.4 小结
• 第四章 二维广义Jacobi正交逼近和插值理论及其应用
• 4.1 二维广义Jacobi正交逼近
• 4.2 二维广义Jacobi-Gauss-Lobatto插值
• 4.3 二维广义Jacobi谱方法
• 4.3.1 准备工作
• 4.3.2 带有奇异系数的四阶问题
• 4.3.3 同时带有奇异和退化系数的四阶问题
• 4.4 数值结果
• 4.5 小结
• 附录A 误差估计式（2.2.14）的证明
• 附录B 紧凑矩阵形式（4.4.2）中矩阵A和矩阵B的元素
• 参考文献
• 致谢
• 攻读博士学位期间的研究成果