基于隐式曲面的几何造型理论与应用

论文摘要

隐式曲面是自由曲面造型中几何形体的一种重要表示方法。随着工业界、以及娱乐行业对于越来越复杂的曲线曲面处理的需求,隐式曲面造型技术在计算机图形学与应用几何等领域开始扮演着越来越重要的角色,本文将对隐式曲面造型中的若干重要问题进行研究。我们首先回顾了计算机辅助几何设计的发展简史,并对隐式曲面造型理论做了回顾。在第二章,我们将J（u|¨）ttler（[J（u|¨）ttler 2002]）所提出的基于张量积代数B-样条曲面的重构模型由B样条节点固定网格推广到节点自适应网格。该算法的基本思想是通过节点插入,逐步重构出具有丰富细节特征的隐式曲面来拟合给定点云数据。数值试验表明,我们的算法在数据点个数较大的时候比J（u|¨）ttler的算法效率高,并且可以得到更高质量的重构曲面。在第三章,为了得到点到空间曲线距离的快速计算算法,我们研究了利用圆弧样条拟合点集的问题。给定数据点集,我们可以很容易得到一条初始圆弧样条曲线。初始曲线经过一个基于最小二乘法的演化迭代算法,逐步收敛到一条稳定的圆弧样条曲线,该曲线能够很好地拟合给定数据点集。与已有的圆弧样条拟合算法不同,我们的方法不需要任何切向信息。最后,我们证明了该演化算法等价于Gauss-Newton方法。在第四章,为了解决利用隐式代数曲面重构具有尖锐特征的点云数据的困难,我们引进一种全新刻画隐式曲面尖锐特征（边和点）的方法。我们考虑一个初始隐式曲面,它被表示为一个C1连续并且梯度不为零的标量场的零点集。为了表示尖锐的边和点,我们给这个初始曲面添加一个基于边曲线的距离场的隐式表达式,称为边函数和点函数。为了得到给定点到曲线垂足的快速非迭代计算方法,我们用圆弧样条来表示边曲线。在给初始标量场添加了边函数和点函数后,新得到的增量函数包含尖锐特征。我们将这个新表达式结合上一章的圆弧样条拟合算法,应用到具有尖锐特征的隐式曲面建模与重构中,得到了理想的效果。最后,本文研究了对于给定的边界曲线/曲面,求解中轴线/面的问题。我们利用PHT样条的逐层拟合算法去逼近边界曲线/曲面的符号距离场,将定义PHT样条的分级T网格的最深层网格作为中轴线/面。之后,经过一些列的光滑化处理,我们得到了给定的边界曲线/曲面光滑的中轴线/面。同时,作为本文算法的一个重要应用,我们利用PHT样条表示的符号距离场求得给定曲线/曲面的等值线/面。

论文目录

• 致谢
• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• §1.1 概述
• §1.2 隐式曲面造型技术
• §1.2.1 代数曲面的求交、插值和Blending
• §1.2.2 参数曲面与隐式曲面的相互转化
• §1.2.3 隐式曲面的可视化
• §1.2.4 隐式曲面重构
• §1.2.5 隐式曲面的尖锐特征模拟
• §1.2.6 中轴与等值面的计算
• §1.3 本文内容及结构安排
• 第二章 基于张量积代数B-样条的自适应曲面重构
• §2.1 引言
• §2.2 张量积代数B-样条曲面
• §2.3 数学模型
• §2.4 自适应网格下的最优化模型
• §2.5 曲面重构的自适应算法
• §2.6 重构实例与讨论
• §2.7 小结
• 第三章 圆弧样条拟合的演化算法
• §3.1 引言
• §3.2 形状参数
• §3.2.1 简单圆弧段
• §3.2.2 双圆弧
• §3.2.3 圆弧样条
• §3.3 基于演化的空间曲线拟合
• §3.3.1 初始圆弧样条
• §3.3.2 定义演化过程
• §3.3.3 最近点的计算
• §3.3.4 自适应优化
• §3.4 与高斯-牛顿方法的联系
• §3.5 算法实现与讨论
• §3.6 小结
• 第四章 基于隐式曲面的尖锐特征提取
• §4.1 引言
• §4.2 隐式边函数以及点函数
• §4.2.1 边函数
• §4.2.2 隐式边函数
• §4.2.3 隐式点函数
• §4.3 模拟隐式曲面的尖锐特征
• §4.4 重构具有尖锐特征的隐式曲面
• §4.4.1 算法概要
• §4.4.2 初始隐式曲面拟合
• §4.4.3 尖锐边的检测与精简
• §4.4.4 边曲线的拟合
• §4.4.5 增量函数的三角化
• §4.4.6 例子
• §4.5 小结
• 第五章 基于距离函数的中轴计算
• §5.1 引言
• §5.2 PHT样条
• §5.2.1 分级T网格
• §5.2.2 分级T网格上的样条空间
• §5.2.3 三维分级T网格
• §5.2.4 三维分级T网格上的样条空间
• §5.3 符号距离函数
• §5.4 利用PHT样条插值符号距离函数
• §5.4.1 计算垂足
• §5.4.2 计算拟合误差
• §5.5 计算中轴
• §5.5.1 计算给定曲线的中轴
• §5.5.2 计算给定曲面的中轴
• §5.5.3 例子
• §5.6 计算等值面
• §5.7 算法比较与讨论
• §5.8 小结
• 参考文献
• 作者攻读博士期间完成论文