弹性波在不同介质中的传播及其稳定性分析

论文摘要

本文主要研究弹性波在不同介质中的传播及其稳定性分析.运用Galerkin逼近方法证明了边界值问题的解的存在性与唯一性,而且运用Nakao引理和乘子技巧证明了能量的稳定性,即能量的一般衰减性,包括能量的指数衰减和多项式衰减.第二章主要研究带有非线性阻尼边界条件的弹性波的边界值问题及其能量的衰减性更确切地说,我们研究上面方程的强解和弱解的存在性与唯一性及其能量的衰减性.在本章中,我们克服的主要困难有三点：第一,由于我们考虑的是非线性阻尼边界条件,通常的Galerkin逼近方法在这里失效,因此,需要通过变量代换转化为初值为零的等价问题；第二,由于边界条件上的非线性阻尼项g（u1）和非线性源项f（u）的出现,在通过极限的过程中,带来一些困难.为了克服这些困难,我们用紧性和单调性讨论：最后,因为局部耗散项b（x）u1,经典的能量方法在这里失效,因此运用扰动的能量方法和乘子技巧克服这个困难,从而得到能量的指数衰减.第三章研究了一类广泛的弹性波在弹性介质中的边界值问题及其稳定性分析.运用非线性半群方法得到强解或者弱解的存在性与唯一性,然后运用扰动的能量方法和乘子技巧得到能量的指数衰减,推广了第二章的主要结果.更确切地说,我们研究带有梯度项和非线性边界阻尼条件的Klein-Gordon型方程证明的主要困难除了跟上述第二章的情形一样的困难外,还有以下两点：第一,由于上述方程中出现了梯度项和非线性源项,逼近解的构造更加复杂,因此,运用非线性半群方法得到强解或者弱解的存在性与唯一性。更确切地说,我们把上述方程转化为抽象的柯西问题接下来,只要证明算子A在Hilbert空间Η=V×H中产生G0类压缩半群.也就是说,证明算子A在Hilbert空间Η=V×H中满足这里R（I+A）为I+A的值域,I为恒等算子.第二,由于非线性阻尼边界条件和耗散项的出现,能量估计更加困难更加具有技巧性,运用扰动的能量方法和乘子技巧得到能量的指数衰减.第四章研究了弹性波在粘弹性介质中的边界值问题及其稳定性分析.更确切地说,我们研究了带有非线性局部阻尼项和依赖于速度的粘弹性材料的密度的非线性粘弹性波方程由于方程中出现局部非线性阻尼项α（x）u1|u1|k,非线性源项bu|u|r和非线性项M（τ）,松弛函数g（t）,使得能量估计更加困难,分别运用Galerkin逼近方法和扰动的能量方法研究了解的存在性与唯一性及其能量的一般衰减性.而且,对于某些初值和对松弛函数的适当的假设,我们证明了能量的衰减率取决于松弛函数g（t）的衰减率.更确切地说,若松弛函数g（t）是指数性衰减为零,则能量也是指数性衰减为零,若松弛函数g（t）是多项式衰减为零,则能量也是多项式衰减为零,这个结果推广了早期文献的结果。详见第四章.第五章研究了弹性波在各向同性的不可压介质中的边界值问题及其稳定性分析.更确切地说,我们研究了下面的非线性弹性波方程证明的主要困难有两个：第一,由于各向同性和不可压的介质的性质,需要先验估计时,我们运用Sobolev嵌入理论和乘子技巧克服一些困难,从而得到解的存在性与唯一性：第二,由于局部的非线性耗散效应ρ（x,u1）,进行能量估计时遇到一些困难.为了克服这些困难,运用Nakao引理和乘子技巧得到能量的一般衰减性.证明的关键在于如何得到：能量关于时间t是一般的衰减的结论（包括能量的指数衰减和能量的多项式衰减）.这里我们采用了第二、三、四章的基本思想（乘子技巧）,但是我们的能量估计方法是新颖的,而且由于各向同性的不可压介质中的弹性波以及非线性局部耗散效应,我们不能直接应用经典的能量估计方法,这里我们巧妙地构造了一系列的乘子和运用Nakao引理来克服这个困难.在最后一部分（附录）,若忽略压力项,考虑到弹性波在各向异性介质中的传播,我们研究了弹性波在各向异性介质中的边界值问题及其稳定性分析.更确切地说,我们研究了如下的非线性弹性波方程运用非线性半群方法证明解的存在性与唯一性及其能量的指数衰减性.也就是说,我们分为两个步骤证明：第一步,我们证明解的存在性与唯一性.为了进一步分析,我们把上面的方程转化为下面的抽象的柯西问题基于非线性半群理论,我们将证明算子A产生Hilbert空间Η上的G0类压缩半群.第二步,我们证明能量的指数衰减.也就是说,我们证明下面的估计这里c,ω为正常数,s（t）=eA1为Hilbert空间Η上的C0类压缩半群.

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 目录
• 第一章 绪论
• 1.1 弹性波在不同介质中的传播及其稳定性分析的研究背景
• 1.2 弹性波在不同介质中的传播及其稳定性分析的研究现状
• 1.3 本文的主要工作
• 第二章 弹性波在弹性介质中的边界值问题及其稳定性分析
• 2.1 引言
• 2.2 方程（2.1.1）的导出及其应用
• 2.3 主要假设和主要结果
• 2.4 强解和弱解的适定性（存在性与唯一性）
• 2.5 能量的衰减性分析
• 第三章 更为广泛的一类弹性波在弹性介质中的边界值问题及其稳定性分析
• 3.1 引言
• 3.2 主要假设和主要结果
• 3.3 解的存在性与唯一性
• 3.4 能量的衰减性分析
• 第四章 弹性波在粘弹性介质中的边界值问题及其稳定性分析
• 4.1 引言
• 4.2 主要假设和主要结果
• 4.3 主要结果的证明
• 第五章 弹性波在各向同性的不可压介质中的边界值问题及其稳定性分析
• 5.1 引言
• 5.2 主要假设
• 5.3 解的存在性与唯一性
• 5.4 解的能量的一般衰减性
• 参考文献
• 致谢
• 攻读学位期间所完成的学术论文目录
• 攻读学位期间主持的项目