Robust Designs for Approximately Linear Regression Models with Correlated Errors

论文摘要

经典最优设计理论假定响应曲面为真,不同试验点之间相互独立。但实际情况比较复杂,响应曲面可能存在偏差,试验观察值之间也可能存在相依性。因此经典理论得到的设计就存在一定的风险性。为降低设计风险,本文从一般模型出发研究模型的稳健试验设计问题。着重考虑了不同偏差函数和误差结构下获得最优设计的设计准则,并通过实例考察了不同设计准则下设计的稳健性。第二章,假定试验所得观察值由两部分组成,一是真实响应部分（包括线性部分和偏差部分）,其由近似线性函数表示,另一部分是观察误差。具体的,假设真实响应部分来自再生核Hilbert 空间,且不同点的观察误差之间是不独立的,其相关结构由q 阶滑动平均过程拟合。我们着重考虑q = 1 和q = 2 的情况。在采用响应曲面部分参数的最小二乘估计的均方误差（MSE）作为损失函数的条件下,我们利用极小极大方法给出了获得最优稳健设计的设计准则,证明了真实响应曲面为乘积Hermite 多项式函数时,设计准则具有正交性。通过计算给出了不同方差结构下设计点的分布图。在协方差给定的条件下,我们将本章获得的最优设计与经典最优设计（独立方差假设模型下的最优设计）作了比较,并将它们的效率列于表格中。结果表明全偏差设计对复合试验设计有着良好的近似。因此在权重参数不太确定的情况下,可用来代替复合设计。类同于Weins （1999） 和Zhou （2001c） 的结论,我们发现我们的设计准则的效率与过程参数的符号有密切的关系。当试验者对符号有正确认识时,所得设计完全好于经典设计。第三章,采用再生核空间方法研究模型的稳健设计问题。假定不同点的观察值仍由真实响应和误差两部分组成,其中近似性线性函数部分可以是满足一定可积条件的实值函数,而偏差函数来自测度为P 的随机函数空间H , 并同时认为误差是相关的。我们在考虑预测误差最小的基础上给出了获得最优设计的稳健设计准则。在稳健性研究部分,着重考察了Sobolev-Hilbert 空间中的一个例子。我们研究了两种不同的误差结构,数值结果表明:在协方差距阵已知的条件下,设计的好坏依赖于权重参数λ,当λ较小但不小于0时,全偏差设计优于全方差设计,而当λ较大但不大于1时,全方差设计要优于全偏差设计。对于某些特殊的误差结构,设计具有非常好的稳健性。第四章,我们利用Bayesian 方法求解一般模型的最优稳健设计。所考虑的模型类同与第三章,误差结构与第二章一样由q-阶滑动平均过程拟合。与前面都不同是本章考虑的设计空间由有限设计点构成。在这一章,我们首次在相依误差设计问题中引入Bayesian 方法。假定过程参数服从某一特定的分布如截尾正态分布。在考虑先验风险最小的原则下,给出了获得设计的Bayesian 设计准则。考虑到不同情况下获得设计所需计算量不同,我们给出了三种不同的算法。为考察设计准则的有效性和稳健性,我们将不同先验下的Bayesian 设计与经典的等方差设计和部分标准设计作了比较。数值结果表

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT（英文摘要）
• 1 Introduction
• 2 Robust Designs for Models With MA（q） Errors
• 2.1 Preliminaries
• 2.2 Design criteria for models with correlated errors
• 2.3 Case study
• 2.4 Conclusion and Discussion
• 3 Robust Designs for Models With known Correlated Errors
• 3.1 Formulation for the design problem
• 3.2 Illustrative Example
• 3.3 Summary
• 4 Bayesian Robust Design
• 4.1 Formulation of the Bayesian Design Criteria
• 4.2 Algorithm
• 4.3 Numerical Results and Discussion
• 4.3.1 Bayesian designs for models with MA（1） errors
• 4.3.2 Bayesian designs for models with MA（2） errors
• 4.4 Summery
• A Proof of Theorem 2.1 and Theorem 2.2
• B Proof of Theorem 2.3
• 致谢及声明
• 在学期间完成论文情况