基于μ基的曲面隐式化、参数化和奇异点计算

论文摘要

在计算机辅助几何设计(Computer Aided Geometric Design, CAGD)中,曲线和曲面有两种基本的表示方法：参数形式与隐式形式。这两种表示方式在实际应用中有着各自的优缺点,例如：参数形式在图形的绘制上很有优势,且得到的曲线曲面易于调控,这点在工业设计中十分重要。另一方面,隐式形式易于判断空间其它点与这个曲线(面)的位置关系。如果我们同时拥有这两种表现形式,将对曲线(面)求交等其它应用很有意义。在几何造型领域,人们通常会根据具体的问题选择其中一种表示方法,因此曲线(面)的这两种表示形式之间的相互转换成为人们所关心的问题,即参数形式的隐式化和隐式形式的参数化问题。在理论上已经证明了任何参数表示的有理曲线(面)都一定可以转化为隐式表示,但是反过来并不总是成立。常见的隐式化方法有结式方法、Groebner基方法、吴方法、插值方法等。但这些方法在有效性、通用性、计算复杂度方面有着各自的局限。而由Sederberg,陈发来等人提出的动曲线(曲面)方法以及从它发展起来的μ基理论在有效性、通用性、和计算复杂度等方面显示了相当的优势,且其可以作为联系两种形式的桥梁,方便地得到两种形式(如果可以参数化)。本文将在已有的研究结果的基础上,以计算代数几何与动曲面方法为研究工具,对低次曲面的隐式化和参数化进行研究,并给出了有理参数曲面上奇异点的计算方法。最后讨论了一般的张量积曲面隐式化的通用框架。在第二章中,我们讨论了曲面上奇异点的阶数和动平面的关系,为我们后面几章中计算低次曲面上的奇异点提供了基础。同时,我们也给出了一般有理参数曲面上的奇异点的计算方法。在第三章和第四章,我们系统地研究了参数二次曲面的隐式化和参数化,及其上奇异点的计算方法。而联系这些内容的关键是关于参数变元是一次的动平面(或弱μ基)。从参数形式,我们可以易得其弱μ基,有了弱μ基,我们可以轻松地得到隐式方程。并且从弱μ基出发,可以简单地得到曲面的逆公式和曲面奇异点的计算。反过来,从曲面的隐式形式出发,通过计算其奇异点信息,我们可以得到弱μ基,从而可以得到参数化结果。在第五章中,我们提出一般有理曲面的μ基,给出一般的参数曲面的隐式化的通用框架。从μ基出发通过混合函数,我们可以得到一组动曲面。结合这些动平面和动曲面,我们可以得到其隐式方程,且隐式方程可以表示为一个行列式。

论文目录

• 致谢
• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• §1.1 概述
• §1.2 曲线、曲面的参数表示与隐式表示
• §1.3 隐式化与参数化
• §1.4 基本知识
• §1.5 几种常见的隐式化方法
• §1.5.1 Grobner基方法
• §1.5.2 结式方法
• §1.5.3 动曲线与动曲面方法
• §1.5.4 μ基方法（Syzygy方法）
• §1.6 常见的参数化方法
• §1.7 小结
• 第二章 有理参数曲面奇异点计算
• §2.1 引言
• §2.2 代数曲线交点的相交重数
• §2.2.1 两条代数曲线交点的重数
• §2.2.2 多条代数曲线交点的重数
• §2.3 曲面奇异点定义的等价性
• §2.4 曲面奇异点的计算
• §2.5 曲面奇异点与曲面μ基的关系
• §2.6 本章小结
• 第三章 参数二次有一个基点曲面的隐式化和参数化
• §3.1 概述
• §3.2 预备知识
• §3.3 隐式化
• §3.4 参数化
• §3.4.1 参数二次有一个基点曲面上的自交点
• §3.4.2 参数化方法
• §3.5 本章小结
• 第四章 Steiner曲面的隐式化和参数化
• §4.1 引言
• §4.2 隐式化
• §4.3 逆公式和曲面奇异点的计算
• §4.4 四次曲面上自交线的判断和计算
• §4.4.1 平面四次曲线的奇异点的判断和计算
• §4.4.2 检测和计算不可约四次曲面上的自交直线
• §4.5 参数化方法
• §4.6 本章小结
• 第五章 一般有理参数曲面的隐式化
• §5.1 一般张量积曲面的μ基
• §5.2 （n,2）次有理参数曲面的隐式化
• §5.2.1 隐式次数
• §5.2.2 μ基的极小次数和
• μ的关系'>§5.2.3 隐式次数m和μ基极小次数和S_μ的关系
• §5.2.4 基于μ基的隐式化
• §5.3 旋转曲面的隐式化
• §5.4 本章小结
• 参考文献
• 作者攻读博士期间完成论文