环面拓扑中若干问题的研究

论文摘要

本文是针对环面拓扑中的模2环面群Z2k作用开展的几个研究。具体包含如下两项工作。第一项工作（见第四章）受到GKM理论（[32]）的启发。本文考虑一类允许Z2-作用的连通闭流形,其不动点集是非空有限集,且个数等于流形的模2 Betti数的和。除了维数是1的情形外,这类Z2-流形不属于GKM理论所应用的范围。运用等变拓扑中的一个重要定理—局部化定理,及等变指标的技巧,本文计算了这类Z2-流形的等变上同调的环结构。这个结果是代数的,而不象[32]那样是组合的。本文还证明了等变上同调环的环同构可以由某个置换得到。应用环结构的结果,本文讨论了维数是2和3的情况下,等变上同调环同构类的个数。对于维数是2的情形,本文得到完整的结果。维数是3的情形,本文给出了等变上同调环同构类个数的一个下界估计。Puppe教授告诉作者,此时的等变上同调环与编码理论中的二元自对偶码有自然的一一对应,其中,环同构是由置换生成的,正好对应着线性码等价的定义。本文的一个具体的构造,其实就是给出一种生成二元自对偶码的方法。第二项工作（第六章）是D-J理论（[21]）的一个自然推广。D-J理论讨论的流形满足两个条件:允许局部标准作用,以及轨道空间是一个单凸多面体。事实上,局部标准作用是一类非常优美的群作用,其轨道空间可以不是单凸多面体,而是更广泛的带角流形。D-J理论的一些性质,对于这种更广意义的对象,也有类似的对应。特别地,具有局部标准作用的流形依然可以用一种类似的方式构造得到。正是基于这一点,本文研究了轨道空间是连通紧致曲面、实心球和实心环面的局部标准作用流形。本文的策略是,研究其轨道空间的带角结构及其上的染色。实心球的带染色的带角结构,可以通过6种运算,转化为一种非常特殊的带角结构,而且其对应的流形是3维球面,其作用是标准的坐标反射诱导的局部标准作用。而实心环面上的带角结构就要相对复杂得多。为此本文引进了两种新的运算,最终得到了4类非常基本的带染色的带角实心环面,使得每个带染色的好的带角实心环面均可由这4类基本的实心环面,在给定的运算下所获得。最后,本文还计算了这几个基本的带染色的带角实心环面（以及平凡主丛）所构造的流形的同调群。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• §1.1 Erlangen纲领和变换群思想
• §1.2 环面拓扑
• §1.3 研究的问题
• 2-等变形式流形'>1.3.1 Z₂-等变形式流形
• 1.3.2 具有局部标准作用的流形
• 1.3.3 文章框架
• 第二章 等变上同调环及局部化定理
• §2.1 变换群的基本概念
• §2.2 Borel构造及等变上同调环
• §2.3 局部化定理
• §2.4 等变Gysin映射
• 第三章 GKM理论
• §3.1 GKM理论
• §3.2 模2GKM理论
• 第四章 一类等变上同调环的环结构及环同构
• §4.1 引言
• §4.2 问题的提出
• §4.3 等变指标
• §4.4 环结构定理
• §4.5 二维情形
• §4.6 环同构定理
• §4.7 环的同构类的个数
• §4.8 二元自对偶线性码
• 第五章 局部标准作用
• §5.1 单凸多面体与带角流形
• §5.2 D-J理论
• §5.3 局部标准作用
• 第六章 具有局部标准作用的低维流形
• §6.1 引言
• §6.2 具有局部标准作用的闭曲面
• §6.3 三维带角流形的一些运算
• §6.4 三维带角实心球
• §6.5 基本带角实心环面
• §6.6 带染色的好的带角实心环面
• §6.7 同调群的计算
• 第七章 后续问题
• 参考文献
• 攻读博士期间已完成和发表的文章
• 致谢