关于弹性偶应力C~0和C~1理论及有限元

论文摘要

传统连续介质力学被成功地用于宏观结构力学性能分析。然而,一系列微观实验表明尺度效应广泛地存在于微米级的工程问题中。传统连续介质力学无法解释尺度效应,于是偶应力/应变梯度理论就成为力学研究的热点之一。偶应力理论引入了材料的特征长度,能够在连续介质力学框架内较好的反映材料的尺度效应。偶应力理论可以分为两大类,一般偶应力理论和约束转动偶应力理论。目前求解偶应力理论的方法主要是有限元法,对于一般偶应力理论的求解,只需构造C0连续的位移单元,于是一般偶应力理论也被称为C0类偶应力理论;与之对应,约束转动偶应力理论求解时要构造C1连续的位移单元,被称为C1类偶应力理论。目前,很多学者致力于两类理论求解方法的研究,也有学者采用罚函数法来逼近C1类偶应力理论。本文在总结前人研究成果的基础上,对两类偶应力进行了系统的比较和仔细的分析,对各自的特点进行了叙述。本文对C0类偶应力理论中的第二剪切模量Ga进行了讨论,认为对Ga的定义是分清两类偶应力理论界限的关键:如果Ga是严格按照材料特性定义的常数,此时的理论为真正意义上的C0类偶应力理论;如果Ga可以随便变化,此时的理论为C1类偶应力理论的罚函数法。采用8结点等参元和RCT9+RT9单元分别对两类理论进行数值模拟,并对计算结果进行了讨论。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论
• 1.1 应变梯度理论发展的背景、现状及偶应力理论的发展
• 1.1.1 偶应力理论、应变梯度理论发展的背景
• 1.1.2 应变梯度理论的发展及现状
• 1.1.3 偶应力理论的发展
• 1.2 考虑偶应力问题的有限单元法
• 1.3 本文的研究目的及主要内容
• 1.3.1 本文的研究目的
• 1.3.2 本文研究的主要内容
• 2 偶应力理论
• 2.1 控制方程
• 2.1.1 平衡方程
• 2.1.2 几何方程
• 2.1.3 本构方程
• 2.1.4 力的边界条件
• 2.1.5 几何边界条件
• 2.2 关于材料长度
• 2.2.1 材料长度l
• 2.2.2 第二剪切模量Ga
• 3 基于偶应力的有限元法
• 3.1 变分原理
• 3.1.1 自然变分原理
• 3.1.2 约束变分原理
• 3.2 基于偶应力的几种单元
• 1类单元'>3.2.1 C¹类单元
• 0类单元'>3.2.2 C⁰类单元
• 1类偶应力的罚函数法'>3.3 C¹类偶应力的罚函数法
• 4 两种偶应力关系推导
• 4.1 两种偶应力理论简介
• 0类偶应力理论'>4.1.1 C⁰类偶应力理论
• 1类偶应力理论'>4.1.2 C¹类偶应力理论
• 4.2 两种偶应力关系的公式推导
• 4.3 理论推导的验证
• 5 数值结果讨论
• 5.1 RCT9+RT9单元数值解和解析解的比较
• 5.2 孔边应力集中系数问题
• 5.2.1 罚因子对应力集中系数的影响
• 5.2.2 减缩积分对结果的影响
• 5.3 悬臂梁
• 5.4 纯弯曲梁
• 结论
• 参考文献
• 攻读硕士学位期间发表学术论文情况
• 致谢