钩子与Auslander-Reiten分支的截面

论文摘要

代数表示论是上世纪70年代初兴起的代数学的一个新的分支，它的基本内容是研究环与代数的结构。在近三十年的时间里这一理论有了异常迅猛的发展并逐步趋于完善。它主要研究一个给定的Artin代数是有限型还是无限型，若是无限型，给出模的分布情况，若是有限型，确定其全体不可分解模，通过研究不可分解模之间的关系并结合A-R箭图，对代数进行分类。 近几年，尤其是对有限维代数的研究取得了一系列较好的结果。1982年，D．Happel和C．Ringel在遗传代数（hereditary algebras）的基础上定义了倾斜代数（tilted algebras），使倾斜代数成为代数表示论中非常重要的一种代数类型，而通过对已知代数类型进行扩展研究以发现更一般的代数类型也成为了一种很有效的方法。1996年，倾斜代数被一般化为拟倾斜代数。拟倾斜代数有许多良好的性质，我们感兴趣的是：Artin代数∧是拟倾斜代数当且仅当任何一条从不可分解内射∧-模到不可分解投射∧-模的路（简称IP路）能被加细成一条既约映射路，且这条路是section路。1999年，拟倾斜代数更一般化为shod代数[7]。和拟倾斜代数类似，Artin代数∧是shod代数当且仅当任何一条IP路能被加细成一条既约映射路，且任何这样的加细至多有两个钩子，如果有两个的话，它们是连续的。 由文献[7]，shod代数的赋值箭图无有向循环，因此它在本文的研究范围之内。所谓严格shod代数，就是整体维数等于3的shod代数，因此严格shod代数除了具有shod代数的一切特性外，还应具有某些特殊的性质。第三章定理3.3.2证明了严格shod代数中一定存在这样的既约映射IP路：使得P（?）L∧，且这样的路至少带有一个钩子，但至多带有两个钩子，这两个钩子（如果存在的话）是连续的。本文第四章讨论不包含有向循环的A-R分支的嵌入，先讨论正则分支与（非）半正则分支、hip-bounded分支等，然后利用李定理[12]，给出几种满足一定条件的A-R分支的嵌入，同时还给出截面（section）的一类性质[4.3.10]：令∧是一个Artin代数，Γ是Γ∧的分支。若Γ包含一个截面△，则Γ＼△（?）L∧∪R∧。

论文目录

• 中文摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• 1.1 引言
• 1.2 内容简介
• 第二章 基础知识
• 2.1 投射模和内射模
• 2.2 几乎可裂序列
• 2.3 箭图及表示
• 2.4 短链与短循环
• 第三章 shod代数与钩子
• 3.1 钩子
• 3.2 shod代数
• 3.3 严格shod代数中的钩子
• 第四章 不包含有向循环的A-R分支的嵌入
• 4.1 正则分支与半正则分支
• 4.2 hip-bounded分支
• 4.3 A-R分支的嵌入
• 参考文献
• 致谢
• 作者简历
• 学位论文数据集