有限群直积的自同构群

论文摘要

设G=H×K为有限群H和K的直积，从H和K出发确定G的自同构群Aut G的结构是有限群论中一个基本而重要的问题．由Bidwell，Curran，McCaughan合作在2006年发表的文章中，首先定义了Aut G的四个特殊子群A，B，C，D，满足然后证明了一个重要结果（本文称之为BCM定理）：如果H和K没有同构的直因子，则Aut G=ABCD．本文首先得到了Aut G=ABCD的一个充要条件：定理1．设G=H×K为两个有限群的直积，则Aut G=ABCD当且仅当对每个（?）∈Aut G，均有H?∩K=1．我们的定理1不仅能直接推出BCM定理（见本文推论1），而且还可得到下述有用的推论：推论2．设G=H×K为两个有限群的直积，如果H或K为G的特征子群，则Aut G=ABCD．一般地，对多个有限群的直积G=G1×…×Gn及映射（?）：G→G，本文定义了一个映射矩阵M（（?））=(（?）ij)n×n，用以描述G的全部自同态与自同构．定理2．设G=G1×…×Gn为有限群的直积，则任意映射（?）：G→G为G的自同态当且仅当与其相伴的映射矩阵M（（?））满足下述两个条件：（1）（?）ij∈Hom（Gi，Gj），（?）1≤i，j≤n，（2）[Im（?）ij，Im（?）kj]=1，（?）1≤i，j，k≤n但i≠k．定理3．设G=G1×…×Gn为有限群的直积，如果对任意1≤i<j≤n，Gi和Gj均没有同构的直因子，则任意映射（?）：G→G为G的一个自同构当且仅当与其相伴的映射矩阵M（（?））满足下述两个条件：（1）（?）ii∈Aut Gi，1≤i≤n，（2）（?）ij∈Hom（Gi，Z（Gj）），1≤i≠j≤n．反之，G的每个自同构的矩阵表示均满足上述两个条件．作为定理3的一个应用，本文得到了群直积的自同构群阶的公式：推论3．设G=G1×…×Gn为有限群的直积，如果对任意1≤i<j≤n，Gi和Gj均没有同构的直因子，则最后，使用推论3本文直接给出了有限交换p-群的自同构群的阶．

论文目录

• 中文摘要
• ABSTRACT
• 引言
• 一 预备知识
• 二 主要结果及其证明
• 三 结论
• 四 参考文献
• 五 附录
• 六 致谢