论文摘要
著名的Goldbach猜想可以表述为：（A）每个大于或者等于9的奇数都可以表示成三个奇素数之和；（B）每个大于或者等于6的偶数都可以表示成两个奇素数之和.显然地,猜想（A）是猜想（B）的直接推论.1937年,Vinogradov[70]基本解决了猜想（A）,他证明每个充分大的奇数可以表示成三个奇素数之和,这一结果也被称为三素数定理.在本文中,Goldbach猜想专指猜想（B）.作为Goldbach猜想的一种证明途径,1951年,Linnik[30]在广义Riemann假设下,两年之后[31]无条件地证明了每个充分大的偶数可以表示成两个素数与可控制个数的2的方幂之和,即N=p1+p2+2v1+…+2vK1.这一问题被称为"Goldbach-Linnik问题”（见[55]）或者“几乎Goldbach问题”（见[41]）.Goldbach-Linnik问题之所以叫做几乎Goldbach问题,是因为序列{2v1+…+2vk:vj≥0}非常稀疏.事实上,区间[1,N]中这类整数的个数是O（logk N）.Goldbach-Linnik问题的意义在于,虽然我们目前还不能证明Goldbach猜想,但是可以证明Goldbach猜想再贴上一个稀疏的数列后成立.显然地,关于K1的最好估计K1=0和Goldbach猜想是等价的.许多作者（[35],[36],[37],[26],[72],[27],[18],[56]等）在广义Riemann假设下或无条件确定或改进K1的具体数值.关于K1的最好结果属于Heath-Brown和Puchta[18],他们证明K1≤13.在第一章,我们通过对圆法中主区间和余区间更精细地计算,改进上面结果.定理1.1.每个充分大的偶数可以表示成两个素数与不多于12个2的方幂之和.i.e.K1≤12.在第一章,我们还讨论了Romanoff问题,广义孪生素数问题和其他相关问题.联系到华罗庚[19]的五素数平方和定理,Lagrangc的四平方和定理,并受Linnik的Goldbach-Linnik问题的启发,刘建亚,廖明哲和展涛[38]证明每个充分大的偶数可以表示成四个素数的平方与2的方幂之和,N=p12+p22+p32+p42+2v1+...+2vk2.由于这一问题是由Gallagher首先提出的,所以被称为"Linnik-Gallagher问题”（见[41]）.K2的可允许值先后由[32],[39]和[28]定出和改进.作为Goldbach-Linnik问题和Linnik-Gallaghcr问题的混合问题,刘建亚,廖明哲和展涛[38]证明每个充分大的奇数可以表示成一个素数,两个素数的平方与2的方幂之和,也就是N=p1+p22+p32+2v1+...+2vk3其中K3的数值先后由[43],[29]和[51]得到和改进.在第一章,我们在广义孪生素数问题的一个猜想下,条件地进一步改进了K3的值.类似地,我们还可以考虑Goldbach-Linnik问题和Linnik—Gallagher问题的高次幂形式.联系到华罗庚[19]的九素数立方和定理,刘建亚和廖明哲[34]证明每个充分大的偶数可以表示成八个素数的立方与2的方幂之和,N=p13+p23+...+p83+2v1+2v2+...+2vk4.在第二章,我们首次给出K4的可容许值.定理2.1.每个充分大的偶数可以表示成八个素数的立方与不多于358个2的方幂之和.i.e.K4≤358.最近,吕广世和本文作者[49]考虑素数的不等次幂与2的方幂之和,我们证明每个充分大的偶数可以表示成一个素数,一个素数的平方,两个素数的立方与2的方幂之和,N=p1+p22+p33+p43+2v1+2v2+…+2vks更进一步地,我们定出K5的可容许值,为K5≤161.在第三章,我们进一步改进了上述结果.定理3.2.每个充分大的偶数可以表示成一个素数,一个素数的平方,两个素数的立方与不多于124个2的方幂之和,i.e.K5≤124.类似地,作为Goldbach-Linnik问题,Linnik-Gallagher问题和八个素数立方与2的方幂之和问题的混合问题,吕广世和本文作者[48]证明每个充分大的奇数可以表示成一个素数,四个素数的立方与2的方幂之和,N=p1+p23+p33+P43+p53+2v1+2v2+…+2ck6.更进一步地,我们定出K6的可容许值,为K6≤106.另外,每个充分大的偶数可以表示成两个素数的平方,四个素数的立方与2的方幂之和,N=p12+p22+p33+p43+p53+p63+2v1+2v2+…+2vk7.更进一步地,我们定出K7的可容许值,为K7≤211.在第四章,我们进一步改进了上述结果.定理4.2.每个充分大的奇数可以表示成一个素数,四个素数的立方与不多于97个2的方幂之和,i.e.K6≤97.定理4.5.每个充分大的偶数可以表示成两个素数的平方,四个素数的立方与不多于136个2的方幂之和,i.e.K7≤136.在第五章,我们考虑了素数的平方,素数的立方与2的方幂之和的另外两个结果.N=p12+p22+p32+p43+p53+2v1+…+2vk8, N=p12+p23+…+p73+2v1+.+2vk9.确切地说,我们证明定理5.1.每个充分大的奇数可以表示成三个素数平方,两个素数立方与不多于172个2的方幂之和,i.e.K8≤172.定理5.2.每个充分大的奇数可以表示成一个素数平方,六个素数立方与不多于111个2的方幂之和,i.e.K9≤111.