与重尾风险相关的若干概率问题的研究

论文摘要

由于大额索赔风险对于保险公司经营状况的巨大影响,近年来,巨灾风险理论受到日益关注。在数学上,能够描述此种风险的是一类服从重尾分布的随机变量。重尾分布包括了诸多重要子类,其中一个范围非常广泛并能很好地刻画重尾风险的分布类就是通常所谓的次指数分布类。次指数分布率先由Chistyakov,V.P.[14]在1964年提出并被应用于分支过程,随后在风险理论、排队论等众多领域获得了迅速而广泛的应用。对次指数分布的性质的研究已产生了大量的文献。本论文主要探讨与重尾风险相关的若干概率问题,它主要涉及了如下三个方面的主题:次指数分布及其相关类的性质及其应用,大偏差理论和广义更新测度。作为预备,本文的开头首先对其它各个章节所要涉及到的各种记号、函数类以及各种重尾分布类及其性质作一个总的说明和概括介绍。在第一章,我们主要探讨了次指数分布某些相关类的若干性质以及其应用。Asmussen等学者在文献[4]中提出了一种在理论和应用都很重要的关于次指数分布的局部化类,我们亦称之为局部次指数分布类。我们首先证明了局部次指数分布类在卷积运算之下不具有封闭性。其次我们指出了负漂移随机游动最大值局部概率次指数性的若干等价条件。另外,学者Shimura和Watanabe[56]的Remark 4.2以反例的形式指出Cline[17]的Lemma2.1（ⅳ）是错误的,从而连带的其它一些结论的证明都存在问题。根据Pakes[51]的论述,Shimura和Watanabe的反例存在一个不足之处,为此我们首先提出了进一步的反例。不但如此,我们发现Cline[17]的Corollary 3.2（ⅰ）的结论本身也是错误的。最后,我们还建立了在随机变量最小值运算之下次指数封闭性的有关结果。在第二章,我们首先建立了具有有限均值的二阶次指数分布理论,并由此得到复合分布尾概率的二阶渐近等价式。我们的结果一方面将Geluk[26]所定义的二阶次指数分布类（局限于具有缓慢变化尾的分布类范围之内）扩展到了有限均值的情形,另一方面将Omey和Willekens在文[48]所得到的复合分布尾概率的二阶精确渐近等价式全面推广到不要求密度存在的二阶次指数分布情形。接着,我们将上述结果应用于风险理论,从而建立了更新风险模型破产概率的二阶精确渐近式,这就突破了已有的仅在Cramér-Lunderberg模型才能得到破产概率二阶精确渐近式的限制。第三章我们讨论重尾非负随机变量随机和的大偏差概率。Kl（u|¨）ppelberg和Mikosch[36]在一定的条件下得到了重尾i.i.d。随机变量随机和大偏差的等价式。但是他们所用的条件太强了,唐启鹤等学者的工作使得这个条件在大为减弱。通过进一步研究,我们发现了上述大偏差等价式成立的充分必要条件。而且,我们还发现此充要条件不但对于i.i.d。随机变量成立,甚至对非独立或非同分布的随机变量也是成立的。第四章我们讨论了重尾非负i.i.d。随机变量和的大偏差局部概率。我们的结果改进了Baltrūnas[5]的结果,使得我们在只要求单边分布尾的条件下得到了单边大偏差局部概率等价式,从而全面推广了Doney[19]的有关结果。在最后一章,我们通过建立普通更新测度的Blackwell更新定理与广义更新测度Black-well型更新定理之间的联系,深入细致地分析了广义更新测度Blackwell型更新定理的各种可能情形。我们发现广义更新测度的加权系数序列与底分布的尾部轻重不同将导致不同形态的Blackwell型更新定理。

论文目录

• 致谢
• 摘要
• 英文摘要
• 预备
• §0.1 记号和函数类
• §0.2 重尾分布类介绍:定义、关系与性质
• 第一章 关于次指数分布相关类性质的若干注记
• §1.1 局部次指数分布类的卷积非封闭性
• §1.2 负漂移随机游动最大值局部概率等价性
• §1.3 文献的一些错误
• §1.3.1 关于Cline[17]Lemma 2.1（ⅳ）的进一步反例
• §1.3.2 关于Cline[17]Corollary 3.2（ⅰ）的反例
• §1.4 随机变量最小值的次指数性
• 第二章 二阶次指数分布及其在风险理论中的应用
• §2.1 二阶次指数分布定义及其性质
• §2.1.1 定义及主要性质
• §2.1.2 预备
• §2.1.3 定理证明
• §2.2 更新风险模型破产概率的二阶精确渐近式
• §2.2.1 引言
• §2.2.2 随机游动的有关结果
• §2.2.3 主要结果及证明
• 第三章 重尾随机和精确大偏差的一般性原则
• §3.1 引言
• §3.2 主要结果与证明
• §3.3 例子
• 第四章 独立随机变量和的单边大偏差局部极限定理
• §4.1 引言
• §4.2 预备
• §4.3 主要结果与证明
• 第五章 广义更新测度的Blackwell型更新定理
• §5.1 引言
• §5.2 主要结果
• n}的尾部起主导作用的情形'>§5.2.1 序列{α_n}的尾部起主导作用的情形
• §5.2.2 分布F的尾部其主导作用的情形
• n}和分布F的尾部同等重要的情形'>§5.2.3 序列{α_n}和分布F的尾部同等重要的情形
• §5.3 预备
• §5.4 定理证明
• 参考文献
• 攻读博士学位期间论文完成情况