高阶非协调元及各向异性有限元的研究

论文摘要

本文对板问题,Stokes问题和纯位移平而弹性问题作了研究.给出了多种有限元,混合元计算方法,分析了方法的收敛性和收敛阶的估计,并且给出了部分数值试验的算例.传统有限元的收敛性要求具备正则性条件,即存在与单元K和剖分无关的常数c,使得(?)≤C,其中h_K和ρ_K分别是单元K和K的最大内切球直径.事实上,这种要求对有限元空间不是必需的,最近出现了很多这方面的研究,即研究满足什么条件,单元的收敛性与(?)无关,也就是各向异性有限元的研究.Apel Zenisek等人在这些方向有一些研究结果,本文是对Apel的方法进行改进,给出了一种更容易操作的方法.对于纯位移平面弹性问题,本文构造了一个高阶矩形单元.详细地给出了如何构造单元,证明单元的适定性,及误差估计的最优收敛阶的证明.Stokes问题是混和变分形式,压力与速度同时计算,关于这个问题的研究很多,本文对二维空间Stokes问题研究了两类各向异性平行四边形混合有限元逼近格式,给出了各向异性的插值误差估计,相容误差估计和LBB条件成立的证明.从而证明了问题在不满足正则性或拟一致条件下的收敛性.板问题是有限元方法中研究研究比较多的问题之一,剖分正则性是不可避免的前提,本文利用双参数法构造了一个8自由度12参数的矩形单元,证明了该元的最优各向异性误差估计.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 前言
• 第一章 预备知识
• §1.1 Sobolev空间
• §1.2 泛函分析中的一些定理
• §1.3 有限元方法中的基本概念和定理
• §1.4 混合元理论
• §1.5 双参数元的基本理论
• §1.6 各向异性插值定理
• 第二章 纯位移平面弹性问题的一个高阶非协调元
• §2.1 构造单元
• §2.2 误差分析
• 2模估计'>§2.3 L²模估计
• §2.4 数值算例
• 第三章 Stokes问题的一种各向异性元求解格式及误差分析
• §3.1 引言
• §3.2 有限元空间及各向异性插值特征
• §3.3 离散格式及各向异性误差估计
• §3.4 相容误差的超收敛分析
• 第四章 Stokes问题各向异性平行四边形非协调元及其应用
• §4.1 引言
• §4.2 有限元空间的构造
• §4.3 各向异性误差估计
• §4.4 数值算例
• 第五章 求解板问题的双参数各向异性元方法
• §5.1 双参数各向异性矩形板元
• §5.2 各向异性剖分时离散问题的收敛性
• §5.3 数值算例
• 参考文献
• 攻读博士学位期间已发表或已完成的文章
• 致谢