不规则区域上椭圆问题的配置有限元法

论文摘要

配置法是近二、三十年发展起来的以满足纯插值约束条件的方式,寻求算子方程近似解的数值方法,具有无需计算数值积分,计算简便及收敛精度高等优点,使之在工程技术和计算数学的许多领域得到广泛的应用。配置法是通过分片多项式求近似解,使之在某些特定的点即配置点上满足微分方程及其边界条件。最初样条配置法是利用三次样条函数并在自然节点上进行配置,但精度不够高。为了加速收敛速度,采用高斯数值积分公式的节点代替自然节点进行配置,且选用分片双三次Hermite插值多项式空间作为求解的函数逼近空间,收敛速度可达到h~4阶,并称在高斯节点上的样条配置法为正交样条配置法(OSC方法)。正交样条配置法最初是由C.deBoor和Swartz[2]提出的,考虑的是m阶常微分方程。在一维情况F,Douglas和Dupont[3]对抛物方程提出C~1有限元配置方法(R≥3)。在二维情况下,Prenter和Rusell[6]考虑了椭圆方程的OSC方法,Bialecki和Cai[11]对椭圆方程的边界考虑了两种插值技巧,即Hermite插值和Gauss插值,都得到了最优估计。Percell和Wheeler[5]研究了R≥3情况下的椭圆问题。Bialecki[12]扩展并概括了二维椭圆边值问题的理论结果,且在[13]中得到超收敛结果.这里的R表示配置多项式的次数。正交配置法较之有限元法易于实现精度高,原因在于配置法不需要计算数值积分,而数值积分既要增加工作量,又要影响系数矩阵的精度,所以配置法被广泛应用于数学物理及工程问题。Emil(?).Frind和George F.Pinder[1]研究了不规则区域Laplace方程的配置有限元方法,这种方法把正交配置法和有限元方法结合起来,运用了在每个节点具有四个自由度的双三次Hermite元,同时运用亚参数变换表示不规则区域,经过亚参数变换,配置点的位置能够确定,从而得到最大的精确度。这种方法特别适合位势问题,这里要求解是C~1连续的。本文的主要工作是把这种数值方法应用到更为一般的椭圆方程。全文共分为三章。第一章主要以引理的形式给出Laplace方程不规则区域配置法的基础理论;第二章讨论了不规则区域一类椭圆边值问题的配置有限元方法,提出问题并根据引理求解;第三章给出算例,并对配置法和Galerkin有限元法的计算效率进行对比,最后给出结论以及本文的不足。

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 第一章 基础理论
• §1.1 引言
• §1.2 不规则区域上Laplace方程配置有限元法
• 第二章 不规则区域上一类椭圆边值问题的配置有限元法
• §2.1 问题描述
• §2.2 配置方程及求解过程
• 第三章 算例及计算效率的比较
• §3.1 算例
• §3.2 计算效率的比较
• §3.3 结论
• 附录
• 参考文献
• 致谢
• 学位论文评阅及答辩情况表