论文摘要
某些重要的物理问题可以用偏微分方程所组成的复杂系统来刻画.对于这样的复杂系统,能够找到任意形式的显式解都是非常有意义的.显式解可以用来作为物理实验的模型,可以看作是测试数值方法的基础,等等.而且,显式解常常反映出更一般类型解的渐近趋势或主导趋势.作为寻找相似解这一著名技巧的推广,寻找群不变解的方法提供了一个系统的、可计算的确定特殊解的途径.所谓群不变解,即它在系统的某个对称群作用下不变;群不变解的对称性越多,则它就越容易构造.粗略地讲,对于一个给定的系统,它的r -参数对称群作用下的群不变解可通过求解比原系统少了r个自变量的系统而得到.这样,复杂的偏微分方程组可以化成简单的偏微分方程组,甚至可以化成常微分方程组,并且有可能对约化的方程组直接求解.本文运用这种方法,研究了（2+1）-维色散长波系统.当前,已有许多直接有效的方法研究过该系统（[6] , [7], [21], [24-25], [27-30] ）.但大多数文章都是先假设该系统的解有某种特殊的形式,然后再确定所有的未知函数.我们用对称的方法求该系统的群不变解,从而避免了事先确定解的形式.首先,我们确定该系统的对称群,此对称群含有三个任意的光滑函数.然后利用某些子群,我们把系统约化为热传导方程和第二型Painlevé方程.在某些情形下,我们给出了约化方程的显式解.
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