非线性可积系统及其相关问题

论文摘要

本文的主要内容包括:1.从一个3×3矩阵谱问题出发,推导出广义MKdV方程族,构造此方程族Hamilton结构,证明在Liouville意义下是可积的.通过对称约束得到有限维Hamilton系统。通过Lie代数半直和构造可积耦合系统,利用变分恒等式得到可积耦合系统的Hamilton结构。由拟微分算子技术构造非等谱非交换的KP方程族。2.首次给出两类变系数非线性演化方程的Frobenius可积分解,包括变系数KdV方程,势KdV方程,Boussinesq方程,Camassa-Holm方程等。把（2+1）维广义KP,cKP,mKP方程分解为（1+1）维可积方程,研究2阶复AKNS方程和3阶复AKNS方程的相容解与广义（2+1）维KP,cKP,mKP方程的解之间的关系,并利用Darboux变换得到它们的孤子解,进而将解表示为双Wronskian行列式形式。3.分别利用Hirota方法与Wronskian技术给出五阶KdV方程及其约束方程的精确解,并证明两种解的一致性.将双Wronskian元素满足的条件推广到矩阵情形,导出等谱Levi方程广义双Wronskian行列式解,其中包括孤子解、有理解、Matveev解、complexiton解及混合解。给出非等谱Levi方程的双Wronskian行列式解。研究等谱与非等谱Levi方程孤子解的动力学行为包括单孤子的特征以及双孤子的散射。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• §1.1 引言
• §1.2 孤子方程的求解
• §1.3 可积系统
• §1.4 可积系统的扩展
• §1.5 本文的主要工作
• 第二章 预备知识
• §2.1 变分恒等式与Hamilton系统
• §2.2 线性导数的定义及性质
• §2.3 Wronskian行列式
• 第三章 可积系统
• §3.1 一个3×3谱问题及其相应的可积方程族,Hamilton结构
• §3.2 对称约束
• §3.3 可积耦合
• §3.4 可积耦合系统的Hamilton结构
• §3.5 非等谱非交换KP方程族
• §3.5.1 拟微分算子的Lax方程
• §3.5.2 等谱非交换KP方程族
• §3.5.3 非等谱非交换KP方程族
• 第四章 可积分解
• §4.1 变系数非线性演化方程的Frobenius可积分解
• §4.2 广义KP,cKP和mKP方程的分解
• 第五章 非线性可积方程的精确解
• §5.1 约束方程与五阶KdV方程的精确解
• §5.1.1 Hirota形式的解
• §5.1.2 恒等式与相关的命题
• §5.1.3 Wronskian行列式形式的解
• §5.1.4 N孤子解的一致性
• §5.2 等谱Levi方程的精确解
• §5.2.1 Hirota形式的解
• §5.2.2 孤子解的动力学特征
• §5.2.3 广义双Wronskian行列式解
• §5.2.4 有理解
• §5.2.5 Matveev解
• §5.2.6 Complexitons解
• §5.2.7 混合解
• §5.3 非等谱Levi方程的精确解
• §5.3.1 Hirota形式的N孤子解
• §5.3.2 孤子解的动力学特征
• §5.3.3 双Wronskian行列式解
• 参考文献
• 博士期间科研成果
• 致谢