样条曲面的区间隐式化、区间曲面的降阶及区间多项式零点的研究

论文摘要

在计算机辅助几何设计中,几何信息的保存至关重要,而由于有些算法的近似性以及计算机浮点误差的存在,很多时候我们只能得到近似的结果。因此,为了保证一些几何处理中的信息不丢失,引进了区间算法的概念,也就是用一个区间来代替一个点来计算。这样就能保证理论上的精确结果包含于计算的结果中,从而避免了信息丢失。本文的主要研究内容为参数曲面的区间隐式化、区间曲面的降阶以及区间多项式的“零点”问题。我们首先说明了误差控制在计算机辅助几何设计和几何计算中的重要性,并回顾了关于这些问题的研究历史和现状,然后举例说明了引入区间算法的意义。文中首先讨论了有理B样条曲面的区间隐式化的问题,该问题是曲线情形的推广,对于曲面的相切求交等操作具有很好的应用价值。与曲线情况的先求中心曲线、再通过调整中心曲线得到边界的方法不同,本文采用直接求解区间隐式曲面的两个边界的方法。通过引入影响曲面几何形状的距离、能量、法向等约束建立最优化求解模型,然后给出了该问题的算法以及具体的算例,并讨论了该方法在实际中的应用。其次讨论区间样条曲面的降阶。区间曲面的降阶克服了减少几何处理复杂度的同时又避免了几何信息丢失的矛盾。本文分别考虑了张量积区间样条曲面的降阶,多边形域上三角剖分区间样条曲面的降阶以及区间PS曲面的降阶。接着,我们讨论了区间多项式的“零点”问题。我们知道,求解多项式的零点一直是个非常重要的工作,但是由于计算机浮点误差导致了其在实际应用中的一些限制,本文通过引入区间多项式的概念,避免了实际操作中的信息丢失。文中对于单变量情形,给出了“零点”的定义以及“零点”重数的定义,然后给出了多项式的Descartes法则、Budan-Fourier定理以及Sturm定理在区间多项式情形的推广。最后,我们考虑了两个双变量的区间多项式的“交点”个数问题,对判定两个代数曲线交点个数的Bezout定理进行了推广。

论文目录

• 致谢
• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• §1.1 引言
• §1.2 区间算法及其性质
• §1.3 区间多项式
• §1.4 区间曲线曲面
• §1.5 本文内容结构
• 第二章 B样条曲面的区间隐式化
• §2.1 引言
• §2.2 区间隐式B样条曲面
• §2.3 有理B样条曲面的区间隐式化
• §2.4 几个例子
• §2.5 结论
• 第三章 区间样条曲面的降阶逼近
• §3.1 引言
• §3.2 矩形域上区间B样条曲面的降阶逼近
• §3.2.1 区间B样条曲面的定义
• §3.2.2 矩形域上区间B样条曲面的降阶
• §3.3 三角剖分的区间样条曲面降阶
• §3.3.1 三角域上的Bernstein多项式
• §3.3.2 多边形域上的三角剖分样条曲面
• §3.3.3 多边形域上三角剖分区间样条曲面的降阶
• §3.3.4 几个算例
• §3.4 区间Powell-Sabin曲面的降阶逼近
• §3.4.1 Powell-Sabin样条空间
• §3.4.2 用区间PS曲面来降阶逼近一般区间曲面
• §3.5 小结
• 第四章 单变量区间多项式的"零点"个数判定及求解
• §4.1 定义与性质
• §4.2 区间多项式"零点"个数判定
• §4.2.1 区间Descartes法则及其衍生判定定理
• §4.2.2 区间Budan-Fourier定理
• §4.2.3 区间Sturm定理
• §4.3 小结
• 第五章 多变量区间多项式的"交点"研究
• §5.1 引言
• §5.2 定义与性质
• §5.3 二元区间多项式的的复"交点"个数判定
• §5.4 二元区间多项式的的实"交点"个数判定
• §5.5 小结
• 第六章 结论与展望
• §6.1 本文工作
• §6.2 将来工作
• 参考文献
• 作者攻读博士期间完成论文