论文摘要
对于由固定生成元集与关系所确定的群，本文致力于用Grobner-Shirshov基的方法找出这种群中任意元素的唯一表示方法（normal form）。群的融合自由积及群的-HNN扩张是组合群论中的基本概念，利用它们的一些基本性质我们可以证明群论中十分著名的嵌入定理及某些只有一个关系所确定的群（one-relator group）中的字问题及共轭问题。在文[17][22]中给出了它们的唯一表示及其定理，本文将利用Grobner-Shirshov基的基本理论重新证明这些定理。本文分为三个部分，第一章给出了一些基本定义及定理，讲述了自由结合代数及Grobner-Shirshov基的基本理论。第二章主要给出了Grobner-Shirshov基理论在群的融合自由积上以及交错群上的应用。对于群的融合自由积的一个半群表示：（?）=sgp<C1，g，h；cc′=[cc′]，cg={cg}[cg]，gg′={gg′}[gg′]，ch={ch}[ch]，hh′={hh′}[hh′]，c，c′∈C1g，g′∈{gi；0≠i∈I}，h，h′∈{hj；0≠j∈J}>通过直接计算求出它的一个Grobner-Shirshov基S={cc′-[cc′]，cg-{cg}[cg]，gg′-{gg′}[gg′]，ch-{ch}[ch]，hh′-{hh′}[hh′])，由合成钻石引理可以得到群的融合自由积的唯一表示定理。同样的，对于交错群的一个半群表示，通过直接计算可以求出它的Grobner-Shirshov基，然后由合成钻石引理可以很快得到它们的唯一表示。本文最主要的一个成果就是将Grobner-Shirshov基理论中的合成钻石引理推广到非项序的情况。这对于Grobner-Shirshov基理论来说具有重要意义。在Grobner-Shirshov基理论中，最重要的就是合成钻石引理，该引理中一个较强的条件就是必须满足项序，而在本文第三章中第一次将Grobner-Shirshov基理论中的合成钻石引理推广到非项序的情况，并给出了它在群的HNN-扩张上的应用。给出群的HNN-扩张的一个半群表示，并在其上定义一个良序但不是项序，通过计算可以求出它的Grobner-Shirshov基，从而由推广的合成钻石引理得到它的唯一表示。