Abel群中子集和的一些问题

论文摘要

加性群论与加性数论又称堆垒群论和堆垒数论．其中许多古典问题是直接问题，即给出群的两个子集A与B，我们来描述和集A+B的结构。相反的问题是逆问题，即由和集A+B的结构来决定A与B的结构。在这篇文章中，我们主要研究加性群论中与直接问题和逆问题有关的若干基本问题，我们分六章来讨论这些问题。在第一章，我们介绍一些基本概念与记号，并总结加性群论有关问题研究的一些背景与进展。在第二章，我们用集合论的一些方法给出了Kneser’s定理的一个新的等价形式，即设G为Abel群，A，B为G的两个有限非空子集，令H=H（A+B）={g∈G|A+B+g=A+B}为A+B的稳定化子，则|A+B|≥|A|+|B|-（?）{|（A-a）∩（B-b）∩H|，|（A-a）∩（b-B）∩H|，|（A-a）∩[h-（B-b）∩H]∩H|}。此结果作为这篇文章中的一个基本工具，比高维东的结果更精细。我们用这个结果很容易推出加性群论的一些著名的定理（如Kemperman-Scherk’s定理，Cauchy-Davenport’s定理与Chowla’s定理）等一些关于子集和的一些结论。并用该定理改进了M．B．Nathanson关于群的加法基（堆垒基）的阶数的上界。在第三章，我们将Kemperman’s结构定理（KST）推广到下面两种情形：（ⅰ）满足|A+B|=|A|+|B|+k（k为非负整数）的子集对（A，B）。（ⅱ）满足|A+B|=|A|+|B|-ρ（ρ≥1为整数）且A+B为非周期或存在某元素c∈A+B使Vc（A，B）=ρ的子集对（A，B）。在第四章，我们将D．Grynkiewicz关于拟周期分解的性质一般化。如关于A的两个拟周期分解，我们有下面更一般的结果：设A1∪A0与A′1∪A′0分别为A的拟周期为H与L的拟周期分解，其中H与L为G的非平凡子群。则下列结论之一成立：（ⅰ） A0=A′0，A1=A′1；（ⅱ）存在H∩L的某个陪集的一子集K（可为空集（?））使A∪K为（H+L）-周期；（ⅲ） L为H之真子群（L＜H）且A0为L-拟周期；（ⅳ） H为L之真子群（H＜L）且A′0为H-拟周期。另外，我们利用拟周期分解的性质对Kemperman的一个奇怪的事实作出新的统一注解，并将Kemperman关于奇怪的事实成立条件“n＞2ρ”换为更广的条件：“群G中任意n-ρ个元生成的子群的阶数＞ρ”。在第五章，我们给出了Kneser’s定理的一个新的等价形式的两个应用。我们首先给出了Abel群G的元构成的序列S的和集sum from n=≤h（S） （S）的一些性质，这些性质比高维东所给出的性质更精细。另外，我们给出了Chuang Peng的结果的一个新的简易证明。其次，我们给出了Frobenius数的上界的几个新的估计公式，而这些公式改进了Vitek与Shen Jian给出的上界。在第六章，我们首先利用Kneser’s定理作为工具推广了G．Zemor关于初等Abel 2-群的一个结果，即我们有更一般的结论：设G为（m1，m2，…mr）型Abel群，A为G的一对称闭包，且为G的有限生成子集，若|A|＞|G|╱n，其中n≥[e（G）╱2]，e（G）=mr，表群G所有元的阶之最小公倍数。则nA=G。其次，我们给出了有关ρ-极大生成集的一些新结果：我们得到了sρ（G）的上界的新估计式，即设G为(（m1，m2，…mr）型Abel群，若ρ＞max{4，[e（G）╱2]}，其中e（G）=mr，则sρ（G）≤|G|╱ρ-1。此上界优于B．Klopsch和V．F．Lev得到的上界3╱2ρ-1|G|。我们并给出了刻划使tρ（G）=0的（G，p）一类非平凡的例子：其中G为（2，m）型Abel群G=Z2（?）Zm（2|m，m≥8）或（3，m）型Abel群G-Z3（?）Zm（3|m，m＞10），ρ=[m╱2]。

论文目录

• 中文摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• §1.1 一些记号与定义
• §1.2 加性群论与加性数论研究的一些问题
• §1.3 本文的主要工作
• 第二章 Abel群中的子集和及其相关问题
• §2.1 引言
• §2.2 子集和的基数定理
• §2.3 一些相关的问题
• 第三章 Kemperman's结构定理之推广
• §3.1 Kemperman's结构定理
• §3.2 一些引理
• §3.3 Kemperman's结构定理之推广
• 第四章 拟周期分解的性质
• §4.1 拟周期分解的一些已知的结论
• §4.2 拟周期分解的性质
• §4.3 Kemperman奇怪事实的新注解
• 第五章 应用:Olson常数和Frobenius数的一些新结果
• §5.1 sum from n=≤h（S） （S）的性质
• §5.2 Olson常数
• §5.3 Frobenius数
• §5.4 Frobenius数的几个新结果
• 第六章 Abel群的加法基与ρ-极大生成集
• §6.1 Abel群的加法基
• §6.2 Abel群的ρ-极大生成集
• ρ（G）=0的一类非平凡的例子'>§6.3 满足t_ρ（G）=0的一类非平凡的例子
• 参考文献
• 致谢
• 作者在攻读博士学位期间主要的研究成果