论文摘要
自从1956年Kac提出Mckean-Vlasov方程之后,Mckean-Vlasov方程得到广泛的重视,因为它准确地描述了现实中这样一类现象：在整个系统中存在交互作用,因此单个个体的运动状态不仅依赖于自身的运动状态,同时也依赖于整个系统运动状态的均值.用来描述这种现象的随机微分方程称为平均场随机微分方程.由于在统计物理,生物学,金融工程,社会科学,控制论等许多领域的广泛应用,平均场随机微分方程成为热点问题.平均场随机最优控制问题与经典的随机最优控制问题最大的区别是：平均场随机最优控制问题是时间不一致的控制问题,Bellman最优性准则失效.因此研究平均场随机最优控制问题就显得尤为重要,本文主要研究与平均场随机微分方程相关的最优控制问题和大偏差问题.大偏差控制问题是随机最优控制问题的一个重要分支.通过对偶方法,将大偏差控制问题转化为遍历的风险敏感性控制问题.而解决有限时间的经典风险敏感性控制问题最有效的方法就是HJB方程,相应的,遍历的经典风险敏感性控制问题对应遍历版本的HJB方程.而已知HJB方程对于平均场随机最优控制问题是无效的,因此研究平均场大偏差控制问题和平均场风险敏感性控制问题就很有意义.我们通过增加一个辅助过程,把平均场风险敏感性控制问题转化为经典的风险敏感性控制问题,借助于HJB方程和Riccati方程的相关结果,有效地解决了平均场风险敏感性控制问题,进而得到平均场大偏差控制问题对应的最优策略和最优效用函数.Huang, Li和Yong（2012）研究了一类新的线性二次最优控制问题—混合线性二次最优控制问题.在此基础上,我们研究混合的平均场线性二次最优控制问题.沿用Huang,Li和Yong的思路,将混合的平均场线性二次最优控制问题转化为两阶段的平均场线性二次最优控制问题和确定性的最优时间问题.Buckdahn, Li和Peng（2009）引入了一类平均场正向随机微分方程和一类新的倒向随机微分方程—平均场倒向随机微分方程.我们感兴趣的是这类过程的随机扰动的大偏差和中偏差问题.首先基于有限维Brown运动泛函的变分表示,我们应用弱收敛方法建立小扰动平均场正向随机微分方程的大偏差原理；接着将小扰动正向随机微分方程的中偏差结果推广到小扰动平均场正向随机微分方程情形：最后,分别应用广义收缩原理和Delta方法建立小扰动平均场正倒向随机微分方程的大偏差原理和中偏差原理.
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