论文摘要
框架理论是研究小波分析的一个主要工具。1952年,Duffin和schaeffer在研究非调和Fourier级数时提出了Hilbert空间框架的概念。1984年,Grossmann发现了框架在小波与Gabor变换中的应用,这一发现引起了人们对框架的广泛兴趣。框架是具有类似于基性质的序列,但不一定是基。特别地,它们可以使Hilbert空间中的元素以一种稳定的方式线性表示出来,由于框架元素可能是线性相关的,因此就失去了作为基的表述唯一性特征,但正是由于这种重复性使得框架在信号和图象处理中有着重要的应用。随着小波分析的兴起和发展,框架理论得到进一步完善。Banach空间中的框架是由K.Grochenig于1991年提出的,他把框架的概念一般化,且定义了Banach空间中的一般框架为Banach框架。于是Banach空间中的框架及原子分解作为框架理论的一个新的重要分支得到发展。本文着重讨论Banach空间中的框架,共分四章:第一章首先介绍了小波分析中的框架理论的产生和发展以及国内外框架理论的研究成果,然后介绍了本文所做的主要工作。第二章回顾了Hilbert空间中的框架和Banach空间中的Banach框架;Xd-框架;p-框架;p阶框架等基本概念和性质,并进一步研究了它们的性质,得出几个有意义的结果。第三章引入并研究了一种新的框架——Xd框架,研究了它的算子等价刻画,得出在算子的扰动下Xd框架的稳定性结论,最后进一步研究了XdRiesz基的性质。第四章首先讨论了Banach空间中几种框架的对偶以及可对偶框架存在的条件,得出几个有意义的结果,然后讨论了框架独立性的几个等价条件。
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