论文摘要
1982年,Beilinson,Bernstein和Deligne在研究奇异空间时首先引入三角范畴recollement的概念.范畴的recollement描述了一个范畴由两个范畴“粘合”而成的思想,是现代数学研究的一个基本工具.本学位论文围绕Abel范畴和三角范畴的recoUement展开研究.全文共分成七部分.前言部分介绍与本论文有关的研究发展概况,阐述论文的背景和思路.第一章介绍预备知识,给出一些与论文有关的基本概念与基本性质,为后面奠定必要的理论基础.第二章研究单点扩张代数与模范畴的recollement.证明了:对于代数A,B和C,若A-mod允许有关于B-mod和C-mod的recollement,则A[M]-mod允许有关于B[N]-mod和C-mod的recollement.这里A[M]和B[N]分别是A关于M和B关于N的单点扩张代数.特别地,我们得到,若两个有限维代数Morita等价,则它们相应的单点扩张代数也Morita等价.第三章研究单点扩张代数与导出范畴的recollement.证明了:对于代数A,B和C,若导出范畴D-（A-Mod）允许有关于导出范畴D-（B-Mod）和D-（G-Mod）的recollement,则导出范畴D-（A[M]-Mod）允许有关于导出范畴D-（B[N]-Mod）和D-（C-Mod）的recollement.特别地,我们可得到文[55]中的主要结果,若两个有限维代数导出等价,则它们相应的单点扩张代数也导出等价.第四章研究商范畴与recollement.主要考虑由已知的三角范畴的recollement诱导相应Verdier商范畴的recollement.特别地,若U是三角范畴D的局部化（或余局部化）子范畴,V是U的三角子范畴,则U/V是D/V的局部化（或余局部化）子范畴,并且有三角等价（D/V）/（U/V）≌D/u.类似地,已知的Abel范畴的recollement也可以诱导相应Serre商范畴的recollement.第五章研究三角范畴D中的AR三角与Verdier商范畴D/U中的AR三角之间的关系.刻画了D中的AR三角在商函子Q:D→D/u下的像是D/U中的AR三角的充要条件,给出了D/U中的AR三角是由D中的AR三角诱导的充要条件,并应用到三角范畴的recollement和遗传Abel范畴.第六章研究三角范畴的recollement诱导Abel范畴的reeollement.设三角范畴D允许有关于三角范畴D’和D"的recollement,我们给出D中t-结构诱导D’和D’的t-结构的充要条件,并利用D中t-结构与D’和D"的t-结构的关系,证明了D中t-结构的心允许有关于D’和D"的t-结构的心的recollement,从而由已知的三角范畴的recollement构造了若干Abel范畴的recollement.