广义zeta函数值的递约估计

论文摘要

过去十多年来，各种形式的多重zeta函数因其在扭结理论，上同调理论，量子力学等众多方向上的联系与应用而受到越来越多的关注．在过去的研究中，尤以对多重zeta函数的递约和估值占了重要的部分．因此对它们进行专门的研究是非常有意义的．同时我们看到，现在关于多重zeta函数的理论还在快速发展中，而不同形式的多重zeta函数因其在不同方向的应用而引起不同方向学者的关注，使得对它们的研究在过去是相对独立的．本文提供了一套有力的组合方法和若干分析技巧，来找到各种形式的多重zeta函数之间的一些内在关系，从而使得我们能更深入地认识它们．本文主要介绍以下三种最常见的多重zeta函数：（1）（原始）多重zeta函数（深度为k，权重为s1+s2+…+sk）：（2）Mordell-Tornheim zeta函数（深度为k，权重为s1+s2+…+sk+s）：（3）Witten zeta函数：这里s∈C，g是一个半单的李代数，而ρ取遍g的所有有限维的不可约表示，其中dimρ是其维数．特别地，当我们的讨论变量s1，s2，…，sk，s都限制在整数上时，我们称以上各种多重zeta函数为相应的多重zeta值．本文主要做了以下结果：1．证明了任意深度为r，权重为w的Mordell-Tornheim zeta值可由若干相同深度和权重的多重zeta值的有理线性组合表出，从而应用多重zeta值的递约定理，证明了深度至少为2，深度和权重有不同奇偶性的Mordell-Tornheim zeta值可递约为深度较少的多重zeta值乘积的线性组合．2．在长度为2时，定义了带符号的q-Tornheim级数，给出了权重为奇数时的q-Tornheim级数的一个精确估值式．作为一个直接推论，部分回答了1985年M．V．Subbarao和R．Sitaramachandra Rao的一个公开问题．3．在长度为2时，给出了一个Nakamura关于ζMT,3（a，b，s）+（-1）bζMT，3（b，s，a）+（-1）aζMT,3（s，a，b）函数关系式的一个非常简洁的证明．4．考虑了Tornheim级数的L-模拟，证明了一类更一般的Tornheim级数的L-模拟是可被估值的．5．指出了数类Witten zeta值可通过多重zeta值来递约和估值，同时给出了ζsl（4）（2m）估值式的一个新证明．6．考虑了多重zeta函数的部分和，并给出了两个关于它们的同余式．

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 目录
• 第一章 背景介绍
• 1.1 黎曼zeta函数
• 1.2 多重zeta函数
• 1.2.1 二重zeta函数
• 1.2.2 一般多重zeta函数的递约和估值
• 1.3 Mordell-Tornheim级数
• 1.3.1 Tornheim级数
• 1.3.2 带符号的Tornheim级数
• 1.3.3 Mordell-Tornheim级数
• 1.4 多重zeta函数和Tornheim级数的q-模拟和L-模拟
• 1.4.1 q-模拟
• 1.4.2 L-模拟
• 1.5 Witten级数
• 1.6 多重调和级数的同余式
• 第二章 Mordell-Tornheim级数
• 2.1 引言
• 2.2 收敛性分析
• 2.3 定理1.2.2的证明
• 第三章 带符号的Tornheim级数及其q-模拟
• 3.1 引言
• 3.2 q-模拟
• 3.3 定理3.2.1的证明
• 3.4 例子
• 第四章 Tornehim级数的一个函数关系的新证明
• 4.1 引言
• 4.2 S（a,b,s）的解构式
• 4.3 定理4.1.1的证明
• 第五章 Tornheim zeta级数的L模拟
• 5.1 引言
• 5.2 预备知识
• 5.3 L（k,l,d;x,ψ）的精确估值式
• 5.4 例子
• 第六章 一类Witten zeta级数的估值
• 6.1 引言
• 6.2 一个组合式的递约
• 6.3 定理1.5.1的一个新证明
• 第七章 一类调和级数的同余式
• 7.1 引言
• 7.2 一些引理
• 7.3 三重调和和的素数模剩余
• 7.4 定理7.1.3的证明
• 参考文献
• 发表文章目录
• 简历
• 致谢