论文摘要
经典的Hahn-Banach泛函扩张定理讨论的是受次线性泛函控制的线性泛函的扩张问题，其算子形式表明：若T是从向量空间X的子向量空间G到Dedekind完备的Riesz空间Y的线性算子，且T受X上的一个次线性算子P的控制，则T能扩张成X上的线性算子且还受P控制。这个结论可以推广到正算子，即有经典的Kantorovich扩张定理：从Riesz空间X的控制子空间G到Dedekind完备的Riesz空间Y的正算子能扩充为全空间X到Y的正算子。正算子是一种特殊的算子，那么其它的特殊算子是否也有类似的扩张性质呢?Buskes G．J．H．M．和van Rooij A．C．M．在他们的一篇论文中得讨论了这个问题，他们将Riesz空间弱化成偏序向量空间，证明了若X是Directed的偏序向量空间，Y是Dedekind完备的Riesz空间，则从X的控制子空间G到y的弱格同态算子能扩张成全空间X到Y的弱格同态算子。按照这个思路，本文主要讨论正投影算子的扩张问题：即在Kantorovitch扩张定理中将Riesz空间X弱化为Dedekind完备的一般偏序向量空间，则定义在X的控制子空间G上的一个正投影算子能扩张成全空间X上的正投影算子。后来扩张定理一个重要的研究方向是针对最优化理论等应用方向的需要，将单值映射的扩张定理推广到多值映射，因此讨论多值映射在某些条件下的扩张问题就有着非常重要的作用。所谓多值映射，即在此映射下，一个原象可以对应若干象，若我们将这些所有的象看成一个象集合，则得到多值映射的一种特殊情况——集值映射。本文主要讨论在某些情况下集值映射的扩张问题，给出了当定义域空间是一个实向量空间，值域空间是由锥K引入序的Dedekind完备的偏序向量空间时，集值映射的一类扩张定理。以及引入局部full拓扑，使序结构与拓扑结构相容，从而成为序拓扑向量空间，进而引入连续性之后，连续集值映射的一类扩张定理。经典Hahn-Banach扩张定理、Kantorovich扩张定理以及它们的很多推广定理的条件都要求值域空间是Dedekind完备的，这是一个非常强的条件，因而也就一定程度上局限了这些扩张定理的应用。针对这种情况，本文考虑弱化了这些定理要求值域空间Dedekind完备这个条件，讨论了当值域空间是由锥K引入序的非Dedekind完备的序拓扑向量空间时，一类集值映射的扩张问题。