论文摘要
众所周知,有许多科学与工程的计算问题最终都要转化为大型稀疏或结构矩阵的计算问题。这些计算问题包括数值解大型线性方程组,求解特征值问题或广义特征值问题.本文主要研究求解一类具有特殊结构的矩阵—Toeplitz矩阵（束）的广义特征值问题:即求（λ,x）,使得Anx=λBnx这里,An与Bn是n阶Toeplitz矩阵或块Toeplitz矩阵.对这样以及其它类似的结构广义特征值问题,当矩阵的阶数稍大时,我们通常需要采用迭代算法.但是当矩阵阶数过大或者矩阵本身性质并不太好的时候,我们还要通过预处理的方式加快迭代算法的收敛速度。而对具有特殊结构的矩阵或矩阵束,我们采用的预处理方法需要特别关注如何利用这些特殊结构所带来的好处.事实上,在设计算法和选择预处理子时,若能充分利用这些特殊结构及其性质,不但可以节省计算时间,还能保证计算所得的解具有原有的物理意义.因此,针对结构矩阵的特点设计出相应的快速有效的算法,具有非常重要的意义。本文主要研究了求解Toeplitz矩阵广义特征值问题及求解分块Toeplitz矩阵广义特征值的基于sine变换的预处理方法。我们分别利用Toeplitz矩阵束和分块Toeplitz矩阵束的特殊结构,采用基于sine变换的预处理子预处理Toeplitz位移矩阵Anx-λBnx,以改进这个位移矩阵的谱,加速预处理算法的收敛.我们给出的算法,可避免求逆,也不需要进行矩阵分解,仅涉及Toeplitz和sine变换的矩阵-向量乘积,因而可应用快速变换算法.这样,比通常需要求逆或要对移位矩阵做不完全分解的算法可节约比较大的运算量,在某种程度上是一种最优预处理方法.在文中,我们还对预处理子的性质,算法的可行性和收敛性进行了分析.最后用数值实验与其它公认的较好的预处理算法进行了比较,验证了我们给出的预处理算法的可行性和有效性.