非标准包及其若干应用

论文摘要

本文利用非标准分析基本理论，系统地给出了度量空间的非标准包的构造及其基本性质，并由此出发，给出了其它几个常见空间的非标准包的构造及其性质；进而利用这些已经给出的理论知识，从非标准分析的角度出发，研究和发展了它们在Banach代数、Hilbert代数等方面的应用，着重阐述了由非标准包方法构造的Banach代数的可逆元理论、广义可逆理论、元素的谱理论及广义谱理论，给出了内积代数的定义，并运用非标准方法构造了Hilbert代数，对其相关性质进行了初步探讨。在第一、二章中，对非标准分析理论进行了简单的概述。通过对非标准分析理论中的公理的描述，给出了公理化的非标准分析，在此基础上，讨论了非标准模型的一些基本性质和非标准饱和模型，并给出了非标准饱和模型的若干等价条件。第三章，首先介绍了度量空间的非标准包的构造方法及其基本性质，由其基本性质——完备性，可以看出构造空间的非标准包的优点；接着讨论了其它几种常见空间的非标准包的构造及其基本性质；最后，利用非标准包可以将空间嵌入到超有限维空间中的特点，研究了Hilbert空间有界共轭算子的谱分解。在第四章里，首先我们给出了如何用非标准包方法构造一个Banach代数，并讨论其可逆元的基本性质，在此基础上将Banach代数中的可逆元概念进行推广，得到广义可逆的概念，并讨论了广义可逆与可逆之间的一些重要关系；接着，重点讨论了用非标准包方法构造的Banach代数中元素的谱的理论；最后，在广义可逆的基础上，给出了Banach代数中元素的广义谱的概念，并讨论了其基本性质。在最后一章里，首先我们给出了内积代数、Hilbert代数的定义，并讨论其基本性质，在此基础上，我们借助非标准方法构造出Hilbert代数，并研究了它的基本性质。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• 1.1 非标准分析的产生和发展现状
• 1.1.1 非标准分析的产生和发展
• 1.1.2 国内非标准分析研究现状
• 1.2 本课题的主要研究目的、内容和意义
• 第二章 非标准分析的基本理论
• 2.1 超结构和语言
• 2.2 非标准模型
• 2.3 非标准模型的基本性质
• 2.4 饱和模型与概括模型
• 第三章 非标准包的构造及其基本性质
• 3.1 度量空间的非标准包的构造及其基本性质
• 3.2 其他常见空间的非标准包的构造
• 3.2.1 赋范空间的非标准包
• 3.2.2 内积空间的非标准包
• 3.2.3 拓扑向量空间的非标准包
• 3.3 HILBERT空间有界共轭算子的谱分解
• 3.3.1 超有限维空间
• 3.3.2 Hilbert空间有界共轭算子的谱分解
• 第四章 由非标准包方法构造的BANACH代数的广义谱理论
• 4.1 由非标准分析方法构造的BANACH代数
• 4.2 由非标准分析方法构造的BANACH代数（?）中的可逆元
• 4.3 广义逆理论
• 4.4 由非标准分析方法构造的BANACH代数（?）中元素的谱
• 4.5 广义谱理论
• 第五章 非标准分析方法构造的HILBERT代数
• 5.1 内积代数
• 5.2 非标准分析方法构造的HILBERT代数
• 致谢
• 参考文献
• 附录:硕士研究生学习阶段发表论文