图在小亏格曲面上的嵌入研究

论文摘要

图的曲面嵌入是拓扑图论的一个重要的研究方向,很多学者对此进行了研究,也得到了很多的结论.特别地,研究图在不同亏格曲面上的不等价的嵌入个数成为其中一个重要的分支,这即是图的亏格分布和完全亏格分布问题.近年来利用刘彦佩教授创建的嵌入的联树模型,在这方面又得到了很多新结果.给定图G的一棵生成树,把每条非树边从中间切断为两条边,即得到一个图的联树.从任意一个节点出发沿T和旋走遍联树所有边,依次记录非树边的字母,则得到图G的关联曲面S.图G的关联曲面与其曲面嵌入之间存在着一一对应的关系.研究结果表明,图的亏格分布是NP难问题,对大部分图类,我们还不能得出其亏格分布和完全亏格分布.然而,图在不同亏格曲面上的嵌入个数往往有一定的相关关系甚至递推关系,从而研究图在某些类型曲面上的个别嵌入亦有着重要的意义,特别地,研究图在球面,环面,射影平面,Klein瓶等小亏格曲面上的嵌入更加有着显而易见的实际意义,本论文利用嵌入的联树模型,专门对一些图类在小亏格曲面上的嵌入进行研究,重点研究了图在射影平面上的嵌入.下面简要地介绍本论文各章的主要内容：第一章首先对曲面,曲面嵌入,曲面的多边形表示等概念进行叙述,并对拓扑图论中关于曲面嵌入的重要结论和理论体系进行了介绍,随后介绍了本论文的研究背景.第二章首先介绍了嵌入的联树模型理论,并给出或证明了一些本论文要用到的重要引理以及一些基本定理,包括射影平面和Klein瓶的多边形表示形式等.第三章研究了多重圈梯图在射影平面上的嵌入,得出了其在射影平面上的嵌入个数和嵌入特征.第四章研究了两类项链图分别在球面,环面，射影平面,Klein瓶上的嵌入,并且建立了这类图的嵌入与环束、双极图的相关嵌入之间的关系.第五章研究了循环图C（2n,2）在射影平面的嵌入.第六章研究了循环图C（2n+1,2）在射影平面上的嵌入.第七章则对研究成果进行了总结,并展望今后的研究工作.

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 1. 绪论
• 1.1 曲面的相关概念
• 1.2 曲面的多边形表示
• 1.3 图的曲面嵌入和旋系
• 1.4 本文的研究背景
• 2. 嵌入的联树模型和引理
• 2.1 嵌入的联树模型
• 2.2 引理
• 2.3 基础定理
• 3. 多重圈梯图在射影平面上的嵌入
• 3.1 定义和引理
• 3.2 n≥4的情形
• 3.3 n=2,3的情形
• 4. 两类项链图的曲面嵌入
• 4.1 定义和引理
• 4.2 在射影平面上的嵌入
• 4.3 在Klein瓶上的嵌入
• 4.4 在球面和环面上的嵌入
• 5. 循环图C（2n,2）在射影平面上的嵌入
• 5.1 定义和断言
• 5.2 主要结论
• 6. 循环图C（2n+1,2）在射影平面上的嵌入
• 6.1 定义和断言
• 6.2 主要结论
• 7. 总结与展望
• 7.1 工作总结
• 7.2 工作展望
• 参考文献
• 攻读博士学位期间发表或接受发表的学术论文
• 致谢