基于Bernstein算子构造高精度拟插值算子的方法和应用

论文摘要

1885年,著名的Weierstrass逼近定理开启了多项式逼近理论的新纪元.1912年,俄国数学家Bernstein对Weierstrass定理给出了有趣证明,并应用概率论思想,构造了Bernstein多项式序列来逼近给定的连续函数.由于Bernstein多项式在计算机辅助几何设计、逼近论、金融数学中有非常广泛的应用,所以直至今天,此研究方向依然是逼近论研究的热点.本文主要讨论如何利用Bernstein拟插值算子的逐次作用及在多项式空间的拟逆来求更为精确的逼近,即利用Bernstein拟插值算子的Boolean和及Bernstein算子在多项式空间的左逆算子构造了高阶的拟插值算子.在研究的过程中找到了最佳的逼近次数,从而给出了这类逼近中的最佳逼近.最后通过实际的数值例子,验证了在应用Bernstein算子的Boolean和迭代所构造算子的收敛性,以及收敛阶最好时文中所给定的采样点的个数与迭代次数关系的合理性.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 前言
• 第一章 基础知识
• 1.1 拟插值的有关理论
• 1.2 Bernstein多项式、算子的定义及性质
• 1.3 Boolean和的定义,Bernstein算子Boolean和的性质
• 1.4 小结
• 第二章 高精度拟插值算子的构造方法及主要结果
• 2.1 基于Bernstein算子的迭代算法构造高精度拟插值算子
• 2.1.1 Bernstein算子的迭代算法
• 2.1.2 Bernstein算子Boolean和的迭代算法
• 2.1.3 主要结果
• 2.2 Bernstein算子左拟逆算子、左Bernstein算子的构造
• 2.2.1 Bernstein算子左拟逆算子、左Bernstein算子的构造方法
• 2.2.2 主要结果
• 2.3 小结
• 第三章 数值试验
• 3.1 数值例子
• 3.2 小结
• 参考文献
• 致谢