论文摘要
关于Markov过程理论的研究，历来有概率方法和分析方法．概率方法直观、形象、明晰，概率意义比较清楚；分析方法则有表达简洁、明快的特点．就应用而言，许多物理学家、生物学家、化学家等专家更钟爱概率方法所表达的结果，而分析方法所表达的结果更适合于将概率论与其他数学学科的成就联系起来或利用现代数学的成果．本文着力于使用分析的方法，以算子半群的理论为工具，研究一类重要的时间连续马氏链——一致突变人口过程．一致突变人口过程是由Brockwell等人引入的一类重要的时间连续马氏链，状态空间E={0，1，2，…}，其q-矩阵Q=(qij；i，j∈E)定义为其中a>0，b≥0，d>0．为了系统地了解一致突变人口过程，本文将给出一致突变人口矩阵Q和一致突变人口矩阵的最小Q-函数F（t）的一些基本性质如单调性、对偶性和Feller-Reuter-Riley（简称FRR）等性质，我们得到如下结果：定理2．1．1 （1）矩阵Q是对偶的；（2）矩阵Q是单调的；（3）矩阵Q不是FRR的；（4）矩阵Q是零流出的；（5）矩阵Q是正则的．定理2．1．2 （1）F（t）是唯一且忠实的；（2）F（t）是随机单调的；（3）F（t）不是FRR的；（4）F（t）不是强单调的；（5）F（t）不是对偶的；（6）F（t）是强遍历的．Y R．Li在[5]着重讨论了转移函数在l∞上的性质，得出了一般的无界q-矩阵Q在l∞上能生成一次正压缩积分半群．在Y R．Li[5]的基础上，我们将对一致突变人口矩阵Q做一些限制，证明由Q导出的算子Ql∞在l∞上能生成正的一次压缩积分半群，我们有如下的结果：定理4．1．1 Ql∞在Banach空间l∞上生成一次正的压缩积分半群T（t）=(Tij（t）；i，j∈E)，此时T′（t）=F（t）定理4．1．2设T（t）如定理4．1．1所得，则有（1）T（t）是随机单调的；（2）T（t）不是FRR的；（3）T（t）不是强单调的，且下列极限存在．定理4．1．3在Banach空间l1上生成正的压缩半群S（t）=(Sij（t）；i，j∈E)，此时S（t）=F（t）．定理4．1．4设S（t）如定理4．1．3所得，则有（1）S（t）是随机单调的；（2）S（t）不是FRR的；（3）S（t）不是强单调的；（4）S（t）不是对偶的；（5）S（t）是强遍历的．由定理2．1．2知一致突变人口矩阵的最小Q-函数F（t）是随机单调的，因此根据Siegmund定理知F（t）必是某个过程的对偶．我们将在第二部分中讨论与一致突变人口过程有关的另一类时间连续马氏链——一致突变人口对偶过程．本章除了讨论一致突变人口对偶矩阵Q2及其最小Q-函数F2（t）的一些基本性质外，我们还将证明一致突变人口对偶矩阵Q2导出的算子在l1或c0空间上生成正压缩半群，我们可得到如下的结果：定理5．1．1 （1）Q2是FRR的；（2）Q2是对偶的；（3）Q2在l1+空间上是零流入的；（4）Q2在l1空间上是强零流入的；（5）Q2在l∞空间上是零流出的；（6）Q2不是单调的．定理5．1．2 （1）F2（t）是FRR的；（2）F2（t）是对偶的；（3）F2（t）不是单调的；（4）F2（t）不是强单调的；（5）F2（t）是强遍历的．定理6．1．2 （1）Ql12在l1空间上生成正的压缩半群F2（t）；（2）在l1上生成正的压缩半群F2（t）；（3）在c0空间上生成正的压缩半群F2（t）；（4）Qc02在c0空间上生成正的压缩半群F2（t）；（5）Ql∞2在l∞空间上生成正的压缩积分半群．
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