电磁场数值求解中迭代方法与预条件技术研究

论文摘要

在工程应用领域,随着电子计算机与相关科学技术的发展,高效的数值分析方法已越来越具有重要性。电磁领域问题的数值分析方法中,有限元法和矩量法是两种重要的且广泛应用的方法,两种方法分析的结果都将产生一个大型复矩阵线性方程组,对该方程组的求解用时在整个仿真用时中占据很大比重。因此,各种高效率、低存储的快速求解算法的研究成为迫切需要。本文研究主要基于:矢量有限元法分析高频电磁场Helmholtz方程边值问题所生成的大型复对称且高度非正定的稀疏线性方程组的快速求解算法,以及电场积分方程矩量法求解所生成的大型复对称非正定的稠密线性方程组的快速求解算法,研究主要致力于高效迭代算法和预条件算法。首先采用对称化的迭代方法如:COCG、SQMR、以及简化的LBCG(SLBCG),并详细研究了其对复对称稠密线性系统以及复对称稀疏线性系统求解的效率,同时与几种常用迭代法相比较。提出了组合迭代的方法,通过组合不同迭代法的残差收敛机制来充分消除残差,这样既能避免COCG在高精度迭代的等方性崩溃,又能在一些问题的求解中获得比单独迭代法更高的收敛效率。详细研究了几种常用的预条件算法在求解不同类型的矩阵方程组以及与不同迭代法结合时的功效。提出了一种针对高度非正定的矢量有限元系数矩阵的改进的AINV(MAINV)预条件算法,该算法通过在分解过程中引入动态主元加强技术来获得更加稳定且高效的预条件子;在此基础上,引入了复偏移Laplace算子方案来尽可能减少预条件子的构造代价,并进一步加强预条件子的健壮性。提出了一种主元补偿的松弛IC分解(RIC)预条件算法,该算法利用待丢弃的小元对相应的对角主元进行加强,以获得更加稳定高效的预条件子,同时也研究了其在与不同迭代法结合时的功效。常规预条件子的产生通常基于系数矩阵A,本文针对特定电磁问题的求解提出了一种基于A的实部矩阵分解的预条件算法,并比较了与不同迭代法结合进行求解时的效率。该预条件子不仅获得了比常规方法更好的求解性能,还能节约相当一部分的存储量。此外,研究了对不完全分解和稀疏近似逆分解预条件算法影响较大的前处理技术,主要包括缩放和重排序技术。采用了一种易于实施的缩放技术来降低矩阵条件数,并采用重排序技术来同时获得分解的高效率和低存储。对采用前处理与不采用前处理所得到的预条件子的性能进行详细比较,以说明前者的优越性。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• 1.1 研究背景
• 1.2 快速算法研究概述
• 1.3 本文研究内容及贡献
• 1.4 本文内容结构安排
• 第二章 电磁场分析的主要数值方法
• 2.1 引言
• 2.2 微分方程方法
• 2.2.1 有限元法
• 2.2.2 有限差分方法（FDTD）
• 2.3 积分方程方法
• 2.3.1 表面积分方程
• 2.3.2 体积分方程
• 2.3.3 矩量法
• 2.4 混合方法
• 2.5 本章小结
• 第三章 电磁场数值求解中的迭代法
• 3.1 引言
• 3.2 Krylov子空间迭代法概述
• 3.3 求解复对称矩阵方程组的迭代方法
• 3.3.1 COCG迭代算法
• 3.3.2 SQMR迭代算法
• 3.3.3 SLBCG迭代算法
• 3.4 数值结果与分析
• 3.4.1 对称化迭代算法在FEM方程组中的应用
• 3.4.2 对称化迭代算法在EFIE方程组中的应用
• 3.5 组合迭代法
• 3.5.1 组合迭代算法描述
• 3.5.2 组合迭代算法在EFIE方程求解中的应用
• 3.5.3 组合迭代算法在FEM方程组中的应用
• 3.6 本章小结
• 第四章 电磁场数值求解中的预条件技术
• 4.1 引言
• 4.2 预条件技术概述
• 4.3 常用预条件技术
• 4.3.1 对角（Diag）预条件
• 4.3.2 对称超松弛（SSOR）预条件
• 4.3.3 不完全 LU 分解（ILU）预条件
• 4.3.4 稀疏近似逆（SAI）预条件
• 4.4 常用预条件技术在电磁问题分析中的应用
• 4.5 稀疏近似逆预条件技术
• 4.5.1 稀疏近似逆（SAI）方法概述
• 4.5.2 基本AINV算法描述
• 4.5.3 一种改进的AINV算法（MAINV）
• 4.5.4 数值结果与分析
• 4.6 基于复偏移Laplace算子的预条件技术
• 4.6.1 算法描述
• 4.6.2 数值结果与分析
• 4.7 不完全分解预条件技术
• 4.7.1 基本算法介绍
• 4.7.2 一种改进的不完全分解算法（RIC）
• 4.7.3 数值结果与分析
• 4.8 基于系数矩阵实部的预条件算法
• 4.8.1 算法描述
• 4.8.2 数值结果与分析
• 4.9 本章小结
• 第五章 前处理技术
• 5.1 前处理技术介绍
• 5.2 缩放技术
• 5.3 重排序技术
• 5.4 数值结果与分析
• 5.5 本章小结
• 第六章 结论与展望
• 6.1 全文总结
• 6.2 后续工作和展望
• 致谢
• 参考文献
• 作者攻博期间取得的成果