涉及广义Fibonacci和Lucas数的一些恒等式

论文摘要

组合恒等式是组合数学领域的主要研究课题之一。它在概率统计计算、理论物理求解、计算机算法的复杂性分析等许多学科都有广泛的应用。在组合数论中,涉及Fibonacci及Lucas数的恒等式也是一个非常深入和久远的问题。近些年来,对这个问题的研究仍然非常活跃,尤其是对广义的Fibonacci和Lucas数,使其得到了非常大的发展。研究组合恒等式的方法多种多样,其中发生函数方法是证明组合恒等式的一个基本而且重要的方法。发生函数是解决离散问题的有效工具,是联系离散数学和连续分析的桥梁。发生函数方法的用途很多,比如,寻找递归关系,求序列的平均值,证明单峰性,证明恒等式等。用发生函数方法不但可以证明已有的恒等式,还可以发现新的恒等式。常系数线性齐次递归序列（又称斐波那契-卢卡斯序列,简称F-L序列）在组合学中是作为一种组合计数的工具被研究的。然而,它的许多美妙的数论性质早已引起人们的注意。自20世纪60年代以来,人们对这种序列的兴趣迅速增长,以致这种序列已逐步形成数论中的一个专题。二阶F-L序列是研究得最为成熟的一种F-L序列,它具有许多优美的性质。本论文就是考虑二阶F-L序列,利用发生函数的方法,结合不定积分的工具建立了一系列涉及广义Fibonacci和Lucas数的多重和的恒等式,并得到了一些新的同余关系。 本文安排如下: 1.第一章主要介绍了与本论文相关的一些重要的定义和符号,以及关于广义Fibonacci,Lucas数的恒等式的一些研究成果。 2.第二章利用广义Fibonacci数的普通发生函数,指数发生函数,关于{（（?））}的发生函数及不定积分的方法建立了一系列涉及广义Fibonacci数的恒等式,并得到了一些新的同余关系。 3.第三章利用与前一章类似的方法给出了涉及广义Lucas数的一些恒等式和新的同余关系。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论
• 1.1 引言
• 1.2 定义和符号
• 1.3 涉及广义Fibonacci，Lucas数的恒等式的研究概况
• 2 涉及广义Fibonacci数的恒等式
• 2.1 广义Fibonacci数发生函数的直接应用
• 2.1.1 指数发生函数
• n={（（?））}的发生函数'>2.1.2 关于Ω_n={（（?））}的发生函数
• 2.2 对广义Fibonacci数的普通发生函数积分的结果
• 3 涉及广义Lucas数的恒等式
• 3.1 广义Lucas数发生函数的直接应用
• 3.1.1 指数发生函数
• n=（?）的发生函数'>3.1.2 关于Ω_n=（?）的发生函数
• 3.2 对广义Lucas数的普通发生函数积分的结果
• 结论
• 参考文献
• 攻读硕士学位期间发表学术论文情况
• 致谢
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