关于局部对称共形平坦黎曼流形中的紧致子流形

论文摘要

本文研究了当外围空间为局部对称共形平坦时，具有平行单位平均曲率向量的紧致子流形的余维数可约化问题．文章分两个部分，第一部分研究了外围空间截面曲率满足1/2<δ≤K≤1的情形，第二部分研究了外围空间Ricci曲率有界的情形，得到了两种情况下各自的余维数可约化的条件．这些条件在某种意义下是最佳的．文章的第一，第二章为准备工作，在第三章中，我们讨论了截面曲率满足1/2<δ≤K≤1的局部对称共形平坦黎曼流形中具有平行单位平均曲率向量子流形的可约化问题，优化了文献[3]中的结论。我们得到：定理1：设Nn+p是n+p维局部对称共形平坦空间，其截面曲率满足1/2<δ≤K≤1，Mn是Nn+p中具有平行单位平均曲率向量的紧致子流形（p≥2），若Mn的第二基本形式模长平方S满足：S≤（（2δ-1）n）/M其中M=max{（?），1+（1/2）sgn（p-2）}．则（1）Mn是Nn+p中某一个n+1维全测地子流形Nn+1的超曲面；或者（2）n=p=2，M2是4维单位球面中的Clifford极小曲面．在第四章中，我们研究了Ricci曲率有界的局部对称共形平坦黎曼流形中具有平行单位平均曲率向量子流形的余维数可约化问题，优化了文献[2]中的结论，我们得到：定理2：设Nn+p是Ricci曲率有界的n+p维局部对称共形平坦空间，Mn是Nn+p中具有平行单位平均曲率向量的紧致子流形（p≥2），若Mn的第二基本形式模长平方S满足：其中，M=max{（?），1+1/2sgn（p-2）}，tT=3tc-Tc-（k/（n+p-1）），Tc，tc，K分别是Nn+p的Ricci曲率上、下确界和数量曲率．则（1）Mn是Nn+p中某一个n+1维全测地子流形Nn+1的超曲面；或者（2）n=p=2，此时M2是S4（K/12）中的Clifford极小曲面．在本文的第五章，我们给出了一个例子，说明定理2的拼挤常数在n≥8时是最好的。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第1章 引言
• 第2章 记号和预备知识
• 第3章 定理1的证明
• 第4章 定理2的证明
• 第5章 一些注记和例子
• 参考文献
• 致谢